Lösung.

Es ist $ \mbox{$f(x,y) = (1 + x + xy)^{-1}$}$ in einer offenen Umgebung von $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ beliebig oft stetig differenzierbar.

Zunächst werden

$ \mbox{$\displaystyle
f'(x,y) \;=\; (1+x+xy)^{-1}\cdot (-1-y\;,\; -x)
$}$
und
$ \mbox{$\displaystyle
\text{H}_f(x,y) \;=\;
\left(
\begin{array}{cc}
2(1+y)^2 & x + xy - 1 \\
x + xy - 1 & 2x^2 \\
\end{array}\right)\; ,
$}$
sowie
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
f_{xxx}(x,y) & = & -6 (1 + y^3)(1 + x...
...ce*{2mm}\\
f_{yyy}(x,y) & = & -6 x^3 (1 + x + xy)^{-4} \; .\\
\end{array}$}$

1.
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\text{T}_2(f,0,(x,y)^\text{t})
& = &...
...  y\end{pmatrix}\vspace*{2mm}\\
& = & 1 - x + x^2 - xy\; . \\
\end{array}$}$
2.
Sei uns eine ,,Fehlerschranke`` $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ vorgegeben.

Für ein (später zu spezifizierendes) $ \mbox{$r > 0$}$ gibt es nach dem Satz von Taylor für jedes $ \mbox{$(x,y)^\text{t}\in B_r((0,0)^\text{t})$}$ ein $ \mbox{$(\xi,\eta)^\text{t}\in \overline{0,x} \subseteq B_r(0)$}$ mit

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
f(x,y) - \text{T}_2(f,0,(x,y)^\text{t...
... \xi(\xi+\xi\eta - 2) x y^2 + \xi^3 y^3}{(1 + \xi + \xi \eta)^4}
\end{array}$}$
Um $ \mbox{$\vert f(x,y) - \text{T}_2(f,0,(x,y)^\text{t})\vert$}$ nach oben abzuschätzen, können wir nach der Dreiecksungleichung summandenweise abschätzen. Vorausgesetzt, es ist $ \mbox{$r < 1/2$}$ , erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\vert x^3\vert,\; \vert x^2 y\vert,\;...
...- r - r^2) \vspace*{2mm}\\
\vert\xi^3\vert & \le & r^3 \; ,\\
\end{array}$}$
und schließlich auch
$ \mbox{$\displaystyle
(1 + \xi + \xi \eta)^4 \; \ge \; (1 - 2r)^4\; .
$}$
Zusammen wird
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\vert f(x,y) - \text{T}_2(f,0,(x,y)^\...
...^3\Big)\vspace*{2mm}\\
&=& \dfrac{r^3(1 + 2r)}{2(1 - 2r)^4}\; .
\end{array}$}$
Es genügt also, $ \mbox{$r$}$ so zu wählen, daß $ \mbox{$0 < r < 1/2$}$ und daß
$ \mbox{$\displaystyle
\frac{r^3(1 + 2r)}{2(1 - 2r)^4} \; < \; \varepsilon\; .
$}$
D.h. wir suchen $ \mbox{$r$}$ so, daß $ \mbox{$r^3(1 + 2r) < 2\varepsilon(1 - 2r)^4$}$ .

Sei nun zusätzlich $ \mbox{$r < 1/4$}$ angenommen. Dann genügt $ \mbox{$\frac{3}{2} r^3 < 2\varepsilon\cdot\frac{1}{16}$}$ , d.h.

$ \mbox{$\displaystyle
r \; < \; (\varepsilon/12)^{1/3}
$}$
Ist $ \mbox{$0 < \varepsilon < 0.05$}$ , so ist dann automatisch $ \mbox{$r < (0.05/12)^{1/3} < 0.161 < 1/4$}$ .

Fassen wir noch einmal zusammen. Für $ \mbox{$(x,y)^\text{t} \in B_{(\varepsilon/12)^{1/3}}(0,0)^\text{t}$}$ ist

$ \mbox{$\displaystyle
\left\vert (1 + x + xy) - (1 - x + x^2 - xy)\right\vert \; < \; \varepsilon.
$}$

3.
Die geometrische Reihe liefert
$ \mbox{$\displaystyle
\frac{1}{1 + (x + xy)} \;=\; 1 - (x + xy) + (x + xy)^2 - (x + xy)^3 \pm \cdots
$}$
für $ \mbox{$\vert x + xy\vert < 1$}$ . Der Bestandteil von Grad $ \mbox{$\le 2$}$ , namentlich $ \mbox{$1 - (x + xy) + x^2$}$ , stimmt mit dem Taylorpolynom $ \mbox{$\text{T}_2(f,0,(x,y)^\text{t})$}$ überein.