Lösung.

1.
Zunächst werden
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x) \... ...f}{\partial x_3}(x) & = & \dfrac{x_3}{\sqrt{x_1+x_2+x_3^2}} \\ \end{array}$}$
für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}_{>0}^3$}$ .

Sodann werden

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lcl} \dfrac{\partial^2 f}{(\partial x_1)^2... ...l x_3)^2}(x) & = & (x_1 + x_2)(x_1 + x_2 + x_3^2)^{-3/2}\; . \\ \end{array}$}$

Also ergibt sich

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{T}_2(f,x_0,h) &=& f(x_0)+f'(x_0... ...ac{h_1 h_2}{12} - \dfrac{h_1 h_3}{6} - \dfrac{h_2 h_3}{6}\Big)\;. \end{array}$}$
2.
Wir berechnen zunächst
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lcl} \dfrac{\partial^3 f}{(\partial x_1)^3... ... -3\, x_3 (x_1 + x_2)(x_1 + x_2 + x_3^2)^{-5/2} \vspace*{2mm}\\ \end{array}$}$

Beachte, daß $ \mbox{$\vert(x_1 + x_2 + x_3^2)^{-5/2}\vert \le \vert(x_1 + x_2)^{-5/2}\vert \le (2(1 - \delta))^{-5/2}$}$ für $ \mbox{$x = (x_1,x_2,x_3)^\text{t}$}$ mit $ \mbox{$\Vert x - x_0\Vert < \delta$}$ .

Verwende ferner die Abschätzungen $ \mbox{$\vert x_1\vert,\, \vert x_2\vert,\, \vert x_3\vert\, \le 2$}$ .

Für den Betrag des Restglieds liefert der Satz von Taylor mit einem $ \mbox{$\lambda\in [0,1]$}$ für $ \mbox{$\Vert h\Vert \le \delta$}$ die Abschätzung

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \vert f(x_0 + h) - \text{T}_2(f,x_0,h... ...\\ & = & \dfrac{27}{2}\,\delta^3 (2(1 - \delta))^{-5/2}\; .\\ \end{array}$}$
Diese Schranke ist von Ordnung $ \mbox{$\text{O}(\delta^3)$}$ , i.e. geteilt durch $ \mbox{$\delta^3$}$ bleibt sie für $ \mbox{$\delta\to 0$}$ beschränkt.