Mittelwertsatz und der Satz von Taylor.

Mittelwertsatz.

Es seien $ \mbox{$n\ge 1$}$ , $ \mbox{$M\subseteq\mathbb{R}^n$}$ eine offene Menge und $ \mbox{$f:M\to\mathbb{R}$}$ differenzierbar.

Es seien ferner $ \mbox{$x,y\in M$}$ derart, daß die Verbindungsstrecke

$ \mbox{$\displaystyle \overline{x,y}:=\{(1-\lambda)x+\lambda y\;\vert\; \lambda\in[0,1]\}$}$
in $ \mbox{$M$}$ enthalten ist.

Dann besagt der Mittelwertsatz, daß es ein $ \mbox{$\xi\in\overline{x,y}$}$ gibt mit

$ \mbox{$\displaystyle f(y)-f(x)=f'(\xi)(y-x)\;.$}$

Gebiete.

Es seien $ \mbox{$n\ge 1$}$ , $ \mbox{$M\subseteq\mathbb{R}^n$}$ eine Menge, und $ \mbox{$x,\, y\,\in\, M$}$ .

Unter einer Kurve in $ \mbox{$M$}$ von $ \mbox{$x$}$ nach $ \mbox{$y$}$ versteht man eine stetige Abbildung $ \mbox{$\gamma:[0,1]\to M$}$ mit $ \mbox{$\gamma(0)=x$}$ und $ \mbox{$\gamma(1)=y$}$ .

Ist z.B. $ \mbox{$\overline{x,y}\subseteq M$}$ , so ist $ \mbox{$[0,1]\to M,\; \lambda\mapsto (1-\lambda)x+\lambda y$}$ eine Kurve in $ \mbox{$M$}$ von $ \mbox{$x$}$ nach $ \mbox{$y$}$ .

Eine Menge $ \mbox{$M\subseteq\mathbb{R}^n$}$ derart, daß für alle $ \mbox{$x,y\in M$}$ eine Kurve in $ \mbox{$M$}$ von $ \mbox{$x$}$ nach $ \mbox{$y$}$ existiert, heißt zusammenhängend. Ein Gebiet ist eine offene, zusammenhängende Menge.

Eine Menge $ \mbox{$M\subseteq\mathbb{R}^n$}$ derart, daß für alle $ \mbox{$x,y\in M$}$ die Verbindungsstrecke $ \mbox{$\overline{x,y}$}$ in $ \mbox{$M$}$ liegt, heißt konvex. Ist $ \mbox{$M$}$ konvex, so ist $ \mbox{$M$}$ auch zusammenhängend.

Es seien $ \mbox{$M\subseteq\mathbb{R}^n$}$ ein Gebiet und $ \mbox{$f:M\to\mathbb{R}$}$ differenzierbar mit $ \mbox{$f'(x)=0$}$ für alle $ \mbox{$x\in M$}$ . Dann ist $ \mbox{$f$}$ konstant, i.e. es ist $ \mbox{$f(x) = f(y)$}$ für alle $ \mbox{$x,\, y\,\in\, M$}$ .

Satz von Taylor.

Sei $ \mbox{$M\subseteq\mathbb{R}^n$}$ offen. Sei $ \mbox{$f:M\to\mathbb{R}$}$ eine $ \mbox{$(m+1)$}$ -fach stetig differenzierbare Funktion.

Unter einem Multiindex verstehen wir ein Tupel $ \mbox{$i=(i_1,\ldots,i_n)\in\mathbb{N}^n$}$ .

Wir setzen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcll} \vert i\vert & := & i_1+\cdots+i_n &... ...1!\cdots i_n! & \text{(,,{$\mbox{$\; i$}$} Fakult\uml at\lq\lq )} \\ \end{array}$}$
Ferner setzen wir im Falle $ \mbox{$\vert i\vert\le m+1$}$
$ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial^{\vert i\vert} f}{(\partial x)^i} \; :=\... ...artial^{\vert i\vert} f}{(\partial x_1)^{i_1}\cdots(\partial x_n)^{i_n}}\; . $}$
Seien schließlich $ \mbox{$x\in M$}$ und $ \mbox{$h= (h_1,\ldots,h_n)^\text{t}\in\mathbb{R}^n$}$ . Wir setzen
$ \mbox{$\displaystyle h^i \;:=\; h_1^{i_1}\cdots h_n^{i_k}\;. $}$

Das $ \mbox{$m$}$ -te Taylorpolynom von $ \mbox{$f:M\longrightarrow\mathbb{R}$}$ an der Stelle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^n$}$ in der Variablen $ \mbox{$h\in\mathbb{R}^n$}$ ist definiert durch

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{T}_m(f,x,h) &:=& \displaystyle\... ...;\dfrac{\partial^{\vert i\vert} f}{(\partial x)^i}(x)\cdot h^i\;. \end{array}$}$
Es ist ein Polynom von Totalgrad $ \mbox{$\le m$}$ in der Variablen $ \mbox{$h\in\mathbb{R}^n$}$ , i.e. in den Variablen $ \mbox{$h_1,\ldots,h_n$}$ .

Beachte, daß in der ersteren Summendarstellung die Indizes $ \mbox{$\nu_1,\ldots,\nu_k$}$ nicht notwendig paarweise verschieden sind. Ferner tauchen dank des Satzes von Schwarz darin Terme mehrfach auf. In der zweiten Summendarstellung sind diese mehrfachen Terme zusammengefaßt.

Sei nun $ \mbox{$h\in\mathbb{R}^n$}$ derart, daß $ \mbox{$\overline{x,x+h}\subseteq M$}$ . Dann besagt der Satz von Taylor, daß es solch ein $ \mbox{$\xi\in\overline{x,x+h}$}$ gibt, daß

$ \mbox{$\displaystyle f(x+h) \;=\; \text{T}_m(f,x,h) + \underbrace{\sum_{\vert... ...al^{m+1} f}{(\partial x)^i}(\xi)\cdot h^i}_{\text{\scriptsize Restglied}}\;. $}$
Beachte, daß es ein $ \mbox{$\lambda\in [0,1]$}$ gibt mit $ \mbox{$\xi = x + \lambda h$}$ .

Der Mittelwertsatz ist der Spezialfall $ \mbox{$m = 1$}$ des Satzes von Taylor.

Wir erhalten z.B. die Taylorpolynome

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{T}_0(f,x,h) &=& f(x)\;,\vspace*... ...\\ &=& f(x)+f'(x)h+\dfrac{1}{2}\; h^\text{t}\text{H}_f(x)h\;. \end{array}$}$
Genauer ist mit dem Satz von Taylor
$ \mbox{$\displaystyle f(x+h) \;=\; f(x)+\displaystyle\sum_{\nu=1}^{n}\dfrac{\p... ...xi_1)\cdot h_\nu \;=\; f(x)+f'(\xi_1)h\hspace*{1cm} \text{(Mittelwertsatz)} $}$
bzw.
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f(x+h) &=& f(x)+\displaystyle\sum_{\n... ...\\ &=& f(x)+f'(x)h+\dfrac{1}{2}\; h^\text{t}\text{H}_f(\xi_2)h \end{array}$}$
bzw.
$ \mbox{$\displaystyle f(x+h) \;=\; f(x)+\displaystyle\sum_{\nu=1}^{n}\dfrac{... ...\partial x_\nu\partial x_\mu \partial x_\rho}(\xi_3)\cdot h_\nu h_\mu h_\rho $}$
mit gewissen, nicht näher bekannten, und i.a. verschiedenen Zwischenpunkten $ \mbox{$\xi_1,\, \xi_2,\,\xi_3\,\in\,\overline{x,x+h}$}$ .