Aufgabe.

1.
Bestimme das zweite Taylorpolynom $ \mbox{$\text{T}_2(f,0,(x,y)^\text{t})$}$ von $ \mbox{$f(x,y) = (1 + x + xy)^{-1}$}$ in $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ .
2.
Wo ist $ \mbox{$\text{T}_2(f,0,(x,y)^\text{t})$}$ ein bis auf die erste Dezimale genauer Ersatz für $ \mbox{$f(x,y)$}$ ? Genauer gefragt, verwende das Restglied, um für gegebenes $ \mbox{$0 < \varepsilon < 0.1$}$ ein $ \mbox{$r = r(\varepsilon) > 0$}$ zu finden mit
$ \mbox{$\displaystyle \vert f(x,y) - \text{T}_2(f,0,(x,y)^\text{t})\vert \; <\; \varepsilon $}$
für alle $ \mbox{$(x,y)^\text{t} \in B_r((0,0)^\text{t})$}$ . (Optimalität dieser Schranke $ \mbox{$r$}$ ist nicht verlangt.)
3.
Vergleiche mit der Reihenentwicklung, die sich aus Einsetzen von $ \mbox{$z = x+xy$}$ in die Entwicklung von $ \mbox{$(1 + z)^{-1}$}$ um $ \mbox{$0$}$ ergibt.