Aufgabe.

Sei $ \mbox{$f:(\mathbb{R}_{>0})^3\to\mathbb{R}$}$ definiert durch $ \mbox{$f(x_1,x_2,x_3)=\sqrt{x_1+x_2+x_3^2}$}$ . Sei $ \mbox{$x_0=(1,1,1)^\text{t}$}$ . Sei $ \mbox{$h=(h_1,h_2,h_3)^\text{t}\in\mathbb{R}^3$}$ variabel.

1.
Berechne das 2. Taylorpolynom $ \mbox{$\text{T}_2(f,x_0,h)$}$ .
2.
Sei $ \mbox{$0 < \delta < 1$}$ . Schätze $ \mbox{$f(x_0 + h) - \text{T}_2(f,x_0,h)$}$ für $ \mbox{$\Vert h\Vert \le \delta$}$ mittels Satz von Taylor dergestalt ab, daß die gefundene obere Schranke nicht von $ \mbox{$h$}$ abhängt. Optimalität dieser Schranke ist nicht verlangt, wohl aber sollte sie von Ordnung $ \mbox{$\text{O}(\delta^3)$}$ sein für $ \mbox{$\delta\to 0$}$ .