Lösung.

Es sei $ \mbox{$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$}$ definiert durch $ \mbox{$f(x_1,x_2):=(\sin x_1)(\sin x_2)$}$ . Dann ist $ \mbox{$f$}$ beliebig oft differenzierbar.

1.
Es ist
$ \mbox{$\displaystyle f'(x_1,x_2)\; =\; \left((\cos x_1)(\sin x_2)\;,\; (\sin x_1)(\cos x_2)\right)\; . $}$
Wir setzten $ \mbox{$y:=(\alpha,\beta)^\text{t}$}$ und $ \mbox{$x:=(\gamma,\delta)^\text{t}$}$ . Dann gibt es nach dem Mittelwertsatz so ein $ \mbox{$\xi=(\xi_1,\xi_2)^\text{t}\in\overline{x,y}$}$ , daß
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (\sin\alpha)(\sin\beta)-(\sin\gamma)(... ...\cos\xi_1)(\sin\xi_2)(y_1-x_1)+(\sin\xi_1)(\cos\xi_2)(y_2-x_2)\;. \end{array}$}$
Also folgt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \vert(\sin\alpha)(\sin\beta)-(\sin\ga... ...2mm}\\ &\le & \vert\alpha-\gamma\vert+\vert\beta-\delta\vert\;. \end{array}$}$
2.
Es ist
$ \mbox{$\displaystyle \text{H}_f(x) \; =\; \begin{pmatrix}-(\sin x_1)(\sin x_2... ...s x_2)\\ (\cos x_1)(\cos x_2) & -(\sin x_1)(\sin x_2) \end{pmatrix} \; . $}$
Wir setzten $ \mbox{$y:=(\alpha,\beta)^\text{t}$}$ und $ \mbox{$x:=(\gamma,\delta)^\text{t}$}$ . Nach dem Satz von Taylor gibt es so ein $ \mbox{$\xi=(\xi_1,\xi_2)^\text{t}\in\overline{x,y}$}$ , daß
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} \Big((\sin\alpha)(\sin\beta)-(\sin\gam... ...s\xi_1)(\cos\xi_2)(\alpha - \gamma)(\beta - \delta)\Big)\; , \\ \end{array}$}$
woraus
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} \Big\vert\Big((\sin\alpha)(\sin\beta)-... ...}{2}(\vert\alpha - \gamma\vert + \vert\beta - \delta\vert)^2 \\ \end{array}$}$
folgt.