Lösung.

Setze $ \mbox{$f(x) := \begin{pmatrix}x\\  x^2\\  x^3\end{pmatrix}$}$ , setze $ \mbox{$g(u,y,z) := \displaystyle\int_{y}^{z} \dfrac{\sin(tu)}{t}\, \text{d}t$}$ . Da

$ \mbox{$\displaystyle
(g\circ f)(x) \; = \; \int_{x^2}^{x^3} \dfrac{\sin(tx)}{t}\, \text{d}t\; ,
$}$
können wir die verlangte Funktion $ \mbox{$(g\circ f)'(x)$}$ mittels Kettenregel bestimmen.

Es ist $ \mbox{$f'(x) = \begin{pmatrix}1\\  2x\\  3x^2\end{pmatrix}$}$ .

Es ist

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
g'(u,y,z)
&=& \left(\;\displaystyle\i...
...}\;, \;-\dfrac{\sin(yu)}{y}\;,\;\;\dfrac{\sin(zu)}{z}\;\right)\;.
\end{array}$}$
Folglich wird
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
(g\circ f)'(x)
& = & g'(f(x)) f'(x) ...
...mm}\\
& = & x^{-1}\left(4\sin(x^4) - 3\sin(x^3)\right) \; .\\
\end{array}$}$