Lösung.

Es gilt $ \mbox{$f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_U$}$ und $ \mbox{$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_V$}$ . Es sei $ \mbox{$y\in V$}$ und $ \mbox{$x:=f^{-1}(y)$}$ . Dann folgt mit der Kettenregel
$ \mbox{$\displaystyle \text{E}_n \;=\; (f\circ f^{-1})'(y) \;=\; f'(f^{-1}(y))\cdot (f^{-1})'(y) $}$
und
$ \mbox{$\displaystyle \text{E}_m \;=\; (f^{-1}\circ f)'(x) \;=\; (f^{-1})'(f(x))\cdot f'(x) \;=\; (f^{-1})'(y)\cdot f'(f^{-1}(y))\;. $}$

Also sind die Matrizen $ \mbox{$(f^{-1})'(y)$}$ und $ \mbox{$f'(f^{-1}(y))$}$ zueinander invers. Aus der Linearen Algebra folgt daher, daß $ \mbox{$m=n$}$ und

$ \mbox{$\displaystyle (f^{-1})'(y) \;=\; (f'(f^{-1}(y)))^{-1}\;. $}$