Lösung.

  1. Die Funktion $ \mbox{$f$}$ , eingeschränkt auf $ \mbox{$\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)^\text{t}\}$}$ , ist differenzierbar als Quotient von differenzierbaren Funktionen. Also ist $ \mbox{$f$}$ auch stetig in allen Punkten $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)^\text{t}\}$}$ . Es bleibt die Stetigkeit im Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ zu überprüfen.

    Es sei $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ gegeben. Wir müssen so ein $ \mbox{$\delta>0$}$ finden, daß

    $ \mbox{$\displaystyle \Vert x\Vert\; =\; \Vert x-(0,0)^\text{t}\Vert\; <\; \delta \;\;\Rightarrow\;\; \vert f(x)\vert\;<\;\varepsilon\;. $}$
    für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^2$}$ .

    Es gilt für alle $ \mbox{$x=(x_1,x_2)^\text{t}\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)^\text{t}\}$}$

    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(x)\vert \;=\; \left\vert\dfrac{x_1^3}{x_1^2+x_2^... ...dfrac{x_1^2}{x_1^2+x_2^2} \;\leq\; \vert x_1\vert\; \;\leq\; \Vert x\Vert\;. $}$
    Die Ungleichung $ \mbox{$\vert f(x)\vert\leq\Vert x\Vert$}$ gilt sogar für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^2$}$ . Setzt man $ \mbox{$\delta:=\varepsilon$}$ , so gilt für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^2$}$ mit $ \mbox{$\Vert x\Vert<\delta$}$ stets $ \mbox{$\vert f(x)\vert\leq\Vert x\Vert<\varepsilon$}$ . Damit ist $ \mbox{$f$}$ definitionsgemäß stetig in $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ .

  2. Es sei $ \mbox{$v=(v_1,v_2)^\text{t}\in\mathbb{R}^2$}$ eine Richtung, d.h. es sei $ \mbox{$v_1^2 + v_2^2 = 1$}$ . Die Richtungsableitungen in allen Punkten $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)^\text{t}\}$}$ existieren, da $ \mbox{$f$}$ eingeschränkt auf $ \mbox{$\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)^\text{t}\}$}$ differenzierbar ist.

    Im Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ gilt

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} \dfrac{\partial f}{\partial v}(0,0)... ...\limits_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\;\dfrac{h^3 v_1^3}{h^2} &=& v_1^3\;. \end{array}$}$
    Also existieren auch alle Richtungsableitungen im Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ .

  3. Die partiellen Ableitungen von $ \mbox{$f$}$ nach $ \mbox{$x_1$}$ bzw. $ \mbox{$x_2$}$ sind gleich den Richtungsableitungen von $ \mbox{$f$}$ in den Richtungen $ \mbox{$(1,0)^\text{t}$}$ bzw. $ \mbox{$(0,1)^\text{t}$}$ . Nach Teil $ \mbox{$2.$}$ ergibt sich also
    $ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(0,0)=1,\;\;\; \dfrac{\p... ...ial x_2}(0,0)=0,\;\;\; (\nabla f)(0,0)=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\;.$}$

    Alternativ kann man die Definition der partiellen Ableitung verwenden.

  4. Wäre $ \mbox{$f$}$ differenzierbar im Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ , so gälte die Gleichung
    $ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial v}(0,0) \;=\; f'(0,0)\cdot v \;=\; \left(1\;,\; 0\right){v_1 \choose v_2} \;=\; v_1 $}$
    für alle Richtungen $ \mbox{$v=(v_1,v_2)^\text{t}\in\mathbb{R}^2$}$ . Nach Aufgabenteil 2. gilt jedoch
    $ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial v}(0,0) \;=\; v_1^3\;.$}$
    Dies ist z.B. für die Richtung $ \mbox{$v:=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})^\text{t}$}$ ein Widerspruch. Also ist $ \mbox{$f$}$ nicht differenzierbar im Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ .

Skizze von $ \mbox{$f$}$ .

\includegraphics[width = 8cm]{s2.eps}