Die Funktion
, eingeschränkt auf
, ist differenzierbar als Quotient von differenzierbaren
Funktionen.
Also ist
auch stetig in allen Punkten
. Es bleibt die Stetigkeit im Punkt
zu überprüfen.
Es sei
gegeben. Wir müssen so ein
finden, daß
für alle
.
Es gilt für alle
Die Ungleichung
gilt sogar für alle
.
Setzt man
, so gilt für alle
mit
stets
. Damit ist
definitionsgemäß stetig in
.
Es sei
eine Richtung, d.h. es sei
. Die Richtungsableitungen in allen Punkten
existieren, da
eingeschränkt auf
differenzierbar ist.
Im Punkt
gilt
Also existieren auch alle Richtungsableitungen im Punkt
.
Die partiellen Ableitungen von
nach
bzw.
sind gleich den Richtungsableitungen von
in den Richtungen
bzw.
. Nach Teil
ergibt sich also
Alternativ kann man die Definition der partiellen Ableitung verwenden.
Wäre
differenzierbar im Punkt
, so gälte die Gleichung
für alle Richtungen
. Nach Aufgabenteil 2. gilt jedoch
Dies ist z.B. für die Richtung
ein Widerspruch. Also ist
nicht differenzierbar
im Punkt
.