Lösung.

1.
(a)
Wir berechnen
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f_r(r,\varphi) & = & (\cos \varphi,... ...i(r,\varphi) & = & (- r \sin \varphi, r \cos \varphi)^\text{t}. \end{array} $}$
Die partiellen Ableitungen sind als Komposition stetiger Funktionen stetig, und damit ist insbesondere $ \mbox{$f$}$ differenzierbar. Es ist
$ \mbox{$\displaystyle f'(r,\varphi) = \begin{pmatrix} \cos \varphi & - r \sin \varphi\\ \sin \varphi & r \cos \varphi \end{pmatrix}. $}$
Die Determinante der Jacobimatrix ergibt sich zu $ \mbox{$\det f'(r,\varphi) = r ((\cos \varphi)^2 + (\sin \varphi)^2) = r$}$ .

(b)
Es ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f_r(r,\varphi,z) & = & (\cos \varph... ...,\vspace{3mm}\\ f_z(r,\varphi,z) & = & (0,0,1)^\text{t} \; . \end{array} $}$
Die partiellen Ableitungen sind als Komposition stetiger Funktionen stetig, und daher ist $ \mbox{$f$}$ differenzierbar ist. Es wird
$ \mbox{$\displaystyle f'(r,\varphi,z) = \begin{pmatrix} \cos \varphi & - r ... ... 0\\ \sin \varphi & r \cos \varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\; . $}$
Mittels Laplace-Entwicklung und Aufgabenteil (a) erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle \det f'(r, \varphi, z) = \det \begin{pmatrix} \cos \varphi & - r \sin \varphi\\ \sin \varphi & r \cos \varphi \end{pmatrix} = r. $}$

(c)
Die partiellen Ableitungen von $ \mbox{$f$}$ ergeben sich zu
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f_r(r,\varphi,\psi) & = & ((\sin\va... ...in\varphi) (\sin\psi), r (\sin\varphi) (\cos\psi), 0)^\text{t}. \end{array} $}$
Die partiellen Ableitungen sind als Komposition stetiger Funktionen stetig, und demzufolge ist $ \mbox{$f$}$ differenzierbar mit
$ \mbox{$\displaystyle f'(r,\varphi,\psi) = \begin{pmatrix} (\sin\varphi) (... ...rphi) (\cos\psi)\\ \cos(\varphi) & - r \sin(\varphi) & 0 \end{pmatrix}. $}$
Wir berechnen die Determinante von $ \mbox{$f'$}$ mittels Laplace-Entwicklung zu
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \det f'(r,\varphi,\psi) & = & (\co... ...2 + (\sin\varphi)^2)\vspace{3mm}\\ & = & r^2 \sin\varphi\; . \end{array} $}$

2.
Sei $ \mbox{$g(r,\varphi) := \begin{pmatrix}r \cos \varphi\\ r \sin \varphi \end{pmatrix}$}$ . Wir berechnen die Ableitung von $ \mbox{$F = f \circ g$}$ mittels Kettenregel und Aufgabenteil 1. (a) zu
$ \mbox{$\displaystyle F'(r,\varphi) \; = \; f'(g(r,\varphi)) g'(r,\varphi) \;... ...phi & - r \sin \varphi\\ \sin \varphi & r \cos \varphi \end{pmatrix}\;. $}$

Diese Gleichung können wir nach $ \mbox{$f'(r \cos \varphi, r \sin \varphi)$}$ auflösen, indem wir mit der inversen Matrix von rechts multiplizieren. Es wird

$ \mbox{$\displaystyle f'(r \cos \varphi, r \sin \varphi) \;=\; F'(r,\varphi)... ...rix}r\cos\varphi&r\sin\varphi\\ -\sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}\;. $}$
Daraus ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} f_x &=& F_r\cos\varphi -\frac{1}{... ...\varphi +\frac{1}{r}\,F_\varphi\cos\varphi &:=& H(r,\varphi)\;. \end{array} $}$
Verwendet man dieses Ergebnis für $ \mbox{$f_x$}$ und $ \mbox{$G$}$ bzw. $ \mbox{$f_y$}$ und $ \mbox{$H$}$ anstelle von $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$F$}$ , so ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f_{xx} & = & G_r \cos\varphi - \fra... ...arphi - \frac{1}{r} F_\varphi \sin \varphi \right) \cos\varphi. \end{array} $}$
Es folgt also letztendlich
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f_{xx} + f_{yy} &=& ((\cos\varphi... ... F_{rr} + \frac{1}{r} F_r + \frac{1}{r^2} F_{\varphi\varphi}\;. \end{array} $}$