Aufgabe.

Sei $ \mbox{$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$}$ definiert durch
$ \mbox{$\displaystyle f(x_1,x_2):=\begin{cases}\dfrac{x_1^3}{x_1^2+x_2^2}& \text{falls {$\mbox{$(x_1,x_2)\ne(0,0)$}$}}\\ 0 & \text {sonst}\; \end{cases}$}$
  1. Zeige, daß $ \mbox{$f$}$ stetig ist.
  2. Zeige, daß für alle Richtungen $ \mbox{$v\in\mathbb{R}^2$}$ und alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^2$}$ die Richtungsbleitung $ \mbox{$\dfrac{\partial f}{\partial v}(x)$}$ existiert und berechne sie.
  3. Bestimme den Gradienten von $ \mbox{$f$}$ im Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ .
  4. Zeige, daß $ \mbox{$f$}$ nicht differenzierbar im Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ ist.