Aufgabe.

1.
Berechne jeweils die Jacobimatrix von $ \mbox{$f$}$ und deren Determinante. Ist $ \mbox{$f$}$ differenzierbar?

(a)
$ \mbox{$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\; (r, \varphi)^\text{t} \mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi)^\text{t}$}$ (Polarkoordinaten).
(b)
$ \mbox{$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\; (r, \varphi, z)^\text{t} \mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi, z)^\text{t}$}$ (Zylinderkoordinaten).
(c)
$ \mbox{$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\; (r,\varphi,\psi)^\text{t} \mapsto (r (\sin\varphi) (\cos\psi), r(\sin\varphi) (\sin\psi), r \cos\varphi)^\text{t}$}$ (Kugelkoordinaten).

2.
Es sei $ \mbox{$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$}$ zweimal stetig differenzierbar. Die Transformation in Polarkoordinaten liefert eine Funktion $ \mbox{$F(r, \varphi) := f(r \cos \varphi, r \sin \varphi)$}$ .

Berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von $ \mbox{$F$}$ . Zeige, daß im Punkt $ \mbox{$(x,y)^\text{t} = (r \cos \varphi, r \sin \varphi)^\text{t} \in \mathbb{R}^2\setminus\{0\}$}$ folgendes gilt.

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f_x & = & F_r \cos \varphi - \dfrac... ...rac{1}{r}\; F_r + \dfrac{1}{r^2}\; F_{\varphi \varphi} \; .\\ \end{array} $}$