Lösung.

1.
Die Funktion $ \mbox{$f$}$ ist differenzierbar als Komposition differenzierbarer Funktionen. Mit $ \mbox{$x=(x_1, \ldots, x_n)^\text{t} \in \mathbb{R}^n$}$ ist $ \mbox{$\Vert x \Vert = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$}$ , und damit erhalten wir die partiellen Ableitungen
$ \mbox{$\displaystyle
f_{x_\nu}(x) \;=\; \frac{x_\nu}{\Vert x \Vert}
$}$
für $ \mbox{$\nu\in\{1,\dots,n\}$}$ . Es ergibt sich für $ \mbox{$x \ne 0$}$
$ \mbox{$\displaystyle
f'(x) \;=\; \frac{1}{\Vert x \Vert} (x_1, \ldots, x_n) \;=\; \frac{x^\text{t}}{\Vert x \Vert}.
$}$

Eine alternative Berechnung ergibt sich aus den Ableitungsregeln zu

$ \mbox{$\displaystyle
\Vert x \Vert' \;=\; \left(\sqrt{x^\text{t} x}\right)' ...
...\text{E}_n + x^\text{t} \text{E}_n) \;=\; \frac{x^\text{t}}{\Vert x \Vert}.
$}$

Die Hessematrix läßt sich mit den Methoden der eindimensionalen Analysis bestimmen zu

$ \mbox{$\displaystyle
\text{H}_f(x) =
\begin{pmatrix}
\dfrac{ \Vert x \Ver...
... \Vert} \left( \text{E}_n - \frac{1}{\Vert x \Vert^2} x x^\text{t} \right).
$}$

Alternativ kann man mit der Produkt- und Kettenregel wie folgt argumentieren.

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\text{H}_f(x) & = & (\nabla f)'(x) ...
...( \text{E}_n - \dfrac{1}{\Vert x \Vert^2} x x^\text{t} \right).
\end{array} $}$

2.
Die Funktion $ \mbox{$f$}$ ist differenzierbar als Komposition differenzierbarer Funktionen. Es seien $ \mbox{$A=(a_{i,j})_{i \in \{ 1, \ldots, m \}, j \in \{ 1, \ldots, n \}}$}$ , $ \mbox{$x=(x_1, \ldots, x_n)^\text{t}$}$ und $ \mbox{$b = (b_1, \ldots, b_m)^\text{t}$}$ . Dann ist
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
f'(x) &=& (Ax+b)' \;=\; \begin{pmat...
...1} & \cdots & a_{m,n}
\end{pmatrix}\vspace*{2mm}\\
&=& A\;.
\end{array} $}$

Die Hessematrix ist nur für Funktionen erklärt, die in die reellen Zahlen $ \mbox{$\mathbb{R}$}$ abbilden. Folglich existiert die Hessematrix von $ \mbox{$f$}$ nur im Fall $ \mbox{$m=1$}$ .

In diesem Fall sind die ersten partiellen Ableitungen konstant und folglich ergibt sich die Hessematrix von $ \mbox{$f$}$ zu $ \mbox{$\text{H}_f(x)=0\in\mathbb{R}^{n\times n}$}$ .

3.
Die Funktion $ \mbox{$f$}$ ist differenzierbar als Komposition differenzierbarer Funktionen, und wir erhalten mittels der Rechenregeln für totale Ableitungen unter Verwendung des Aufgabenteils 2 und der Symmetrie der Matrix $ \mbox{$A$}$

$ \mbox{$\displaystyle
(x^\text{t} A x)' \; =\; (A x)^\text{t} x' + x^\text{t}...
...\; =\; x^\text{t} A \, \text{E}_n + x^\text{t} A \; =\; 2 x^\text{t} A \; .
$}$
Es gilt also $ \mbox{$(\nabla f)(x)=2Ax$}$ . Mit Hilfe von 2. ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle
\text{H}_f(x) \;=\; (\nabla f)'(x) \;=\; (2 A x)' \;=\; 2 A\;.
$}$