Lösung.

Die gegebene Funktion $ \mbox{$f$}$ ist als Komposition differenzierbarer Funktionen differenzierbar in allen Punkten $ \mbox{$(x_1, x_2)^\text{t}$}$ mit $ \mbox{$x_1^4+x_2^2 \ne 0$}$ . Damit existieren insbesondere auch alle Richtungsableitungen von $ \mbox{$f$}$ in diesen Punkten.

Wir untersuchen nun die Existenz der Richtungsableitung von $ \mbox{$f$}$ in dem Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ in Richtung $ \mbox{$v=(v_1, v_2)^\text{t}$}$ . Dabei unterscheiden wir zwei Fälle.

In beiden Fällen existieren alle Richtungsableitungen von $ \mbox{$f$}$ in Richtung $ \mbox{$v$}$ im Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ .

Wir zeigen nun, daß die Funktion $ \mbox{$f$}$ nicht differenzierbar ist, indem wir zeigen, daß sie nicht stetig im Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ ist.

Für die Folge $ \mbox{$(x_k)_{k\ge 1}$}$ mit $ \mbox{$x_k := (1/k,1/k^2)^\text{t}$}$ ist nämlich $ \mbox{$x_k \to (0,0)^\text{t}$}$ für $ \mbox{$k \to \infty$}$ , wohingegen

$ \mbox{$\displaystyle
f(x_k) = \frac{1/k^4}{(1/k^4 + 1/k^4)} = \frac{1}{2}
$}$
für alle $ \mbox{$k\ge 1$}$ . Insbesondere konvergiert $ \mbox{$f(x_k)$}$ gegen $ \mbox{$1/2$}$ für $ \mbox{$k \to \infty$}$ und nicht gegen $ \mbox{$0=f(0,0)$}$ .

Skizze von $ \mbox{$f$}$ .

\includegraphics[width = 8cm]{l2.eps}