Lösung.

Um die partielle Ableitung nach $ \mbox{$x_1$}$ zu berechnen, sehen wir die übrigen Variablen, d.h. $ \mbox{$x_2$}$ , als konstant an und erhalten mit den Regeln der eindimensionalen Analysis

$ \mbox{$\displaystyle
f_{x_1}(x_1,x_2) = {x_2 e^{x_1 x_2} \choose - x_2^2 \sin x_1}.
$}$
Um die partielle Ableitung nach $ \mbox{$x_2$}$ zu berechnen, sehen wir die übrigen Variablen, d.h. $ \mbox{$x_1$}$ , als konstant an und erhalten mit den Regeln der eindimensionalen Analysis
$ \mbox{$\displaystyle
f_{x_2}(x_1,x_2) = {x_1 e^{x_1 x_2} \choose 2 x_2 \cos x_1}.
$}$

Da die beiden partiellen Ableitungen von $ \mbox{$f$}$ stetig als Komposition stetiger Funktionen sind, ist $ \mbox{$f$}$ insbesondere (total) differenzierbar und es gilt

$ \mbox{$\displaystyle
f'(x_1,x_2) = \begin{pmatrix}
x_2 e^{x_1 x_2} & x_1 e^{x_1 x_2}\\
- x_2^2 \sin x_1 & 2 x_2 \cos x_1
\end{pmatrix}.
$}$