Lösung.

1.
Sei $ \mbox{$(x_k)_{k\ge 1}$}$ eine konvergente Folge mit $ \mbox{$x_k\in A$}$ für alle $ \mbox{$k\ge 1$}$ und $ \mbox{$x_0=\lim\limits_{k\to\infty} x_k$}$ .

Da $ \mbox{$f$}$ stetig ist, folgt $ \mbox{$f(x_k)\to f(x_0)$}$ für $ \mbox{$k\to\infty$}$ . Ferner gilt $ \mbox{$a\leq f(x_k)\leq b$}$ für alle $ \mbox{$k\ge 1$}$ . Für $ \mbox{$k\to\infty$}$ folgt daher $ \mbox{$a\leq f(x_0)\leq b$}$ , d.h. $ \mbox{$x_0\in A$}$ .

Damit haben wir gezeigt, daß die Menge $ \mbox{$A$}$ alle ihre Berührpunkte enthält, d.h. sie ist abgeschlossen.

2.
Die Beschränktheit beider Mengen folgt direkt aus ihren Definitionen.

Betrachte nun die Funktion $ \mbox{$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\; x\mapsto \Vert x\Vert$}$ . Dann gilt

$ \mbox{$\displaystyle K\; =\;\{x\in\mathbb{R}^n\;\vert\; 0\leq f(x)\leq 1\}\; ,\;\; O\; =\;\{x\in\mathbb{R}^n\;\vert\; 1\leq f(x)\leq 1\}\;. $}$
Nach Aufgabenteil 1. sind $ \mbox{$K$}$ und $ \mbox{$O$}$ somit abgeschlossen. Insgesamt sind sie also kompakt.

3.
Zunächst gilt
$ \mbox{$\displaystyle \left\Vert{\frac{\cos x}{x}\choose\frac{\sin x}{x}}\right\Vert \;=\; \frac{1}{x} \;\leq\; \frac{1}{2\pi} $}$
für alle $ \mbox{$x\geq 2\pi$}$ . Daher ist die Menge $ \mbox{$K$}$ beschränkt.

Sei nun $ \mbox{$(a,b)^\text{t}\in\mathbb{R}^2$}$ ein Berührpunkt von $ \mbox{$K$}$ . Wir wollen zeigen, daß $ \mbox{$(a,b)^\text{t} \in K$}$ ist.

Sei dazu $ \mbox{$(c_k)_{k\ge 1}$}$ eine konvergente Folge mit $ \mbox{$c_k\in K$}$ und $ \mbox{$\lim_{k\to\infty} c_k=(a,b)^\text{t}$}$ . Wir können ohne Einschränkung annehmen, daß $ \mbox{$(a,b)^\text{t}\ne(0,0)^\text{t}$}$ und $ \mbox{$c_k\ne(0,0)^\text{t}$}$ für alle $ \mbox{$k\ge 1$}$ . Es ist also $ \mbox{$c_k=(\frac{\cos x_k}{x_k}\;,\;\frac{\sin x_k}{x_k})^\text{t}$}$ für gewisse $ \mbox{$x_k \geq 2\pi$}$ .

Da die Folge $ \mbox{$(c_k)_{k\ge 1}$}$ in $ \mbox{$\mathbb{R}^2\setminus\{ 0\}$}$ konvergiert, existiert der Grenzwert

$ \mbox{$\displaystyle x_0 := \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\Vert c_k\Vert} = \lim\limits_{k \to \infty} x_k \geq 2\pi. $}$
Daraus folgt
$ \mbox{$\displaystyle (a,b)^\text{t} = \lim\limits_{k \to \infty} c_k = \left(\frac{\cos x_0}{x_0}\;,\;\frac{\sin x_0}{x_0}\right)^{\! \text{t}} \in K. $}$
Also enthält $ \mbox{$K$}$ alle seine Berührpunkte und ist somit abgeschlossen und beschränkt.