Da
stetig ist, folgt
für
.
Ferner gilt
für alle
. Für
folgt daher
, d.h.
.
Damit haben wir gezeigt, daß die Menge
alle ihre Berührpunkte enthält, d.h. sie ist abgeschlossen.
Betrachte nun die Funktion
. Dann gilt
Sei nun
ein Berührpunkt von
. Wir wollen zeigen, daß
ist.
Sei dazu
eine konvergente Folge mit
und
.
Wir können ohne Einschränkung annehmen, daß
und
für alle
.
Es ist also
für gewisse
.
Da die Folge
in
konvergiert, existiert der Grenzwert