Lösung.

1.
Es seien
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} h_1: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\; , \... ...\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\; , \;\; (x,y)^\text{t} \mapsto y\; . \end{array}$}$

Es ist $ \mbox{$f = (\log{} \circ h_1, (\exp{} \circ h_2) \cdot (\sin{} \circ h_3))^\text{t}$}$ . Damit ist jede Komponente von $ \mbox{$f$}$ als Produkt von Kompositionen stetiger Funktionen stetig. Die Funktion $ \mbox{$f$}$ ist demzufolge stetig.

2.
Die Funktion $ \mbox{$f$}$ ist nicht stetig. Betrachte nämlich z.B. die Folge $ \mbox{$(a_k)_{k\ge 1}$}$ , definiert durch
$ \mbox{$\displaystyle a_k \; =\; (x_k, y_k)^\text{t} \; :=\; \left(\frac{1}{k}\;,\;\frac{1}{k}\right)^\text{t} \; . $}$
Es konvergiert $ \mbox{$(a_k)_{k\ge 1}$}$ gegen $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ . Andererseits ist $ \mbox{$f(a_k) = 1/2$}$ für alle $ \mbox{$k\ge 1$}$ und damit ist auch $ \mbox{$\lim\limits_{k \to \infty} f(a_k) = 1/2\neq 0 = f(0,0)$}$ . Daher ist die Funktion $ \mbox{$f$}$ nicht stetig.

Alternativ kann man die Abbildung $ \mbox{$h_1: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2, \; x \mapsto (x,x)^\text{t}$}$ betrachten. Wäre $ \mbox{$f$}$ stetig, so wäre auch die Abbildung $ \mbox{$f \circ h_1$}$ stetig. Es gilt jedoch

$ \mbox{$\displaystyle (f \circ h_1)(x) = \begin{cases} 1/2, & x \neq 0\\ 0, & x = 0. \end{cases}$}$
Da diese Funktion unstetig ist, kann auch $ \mbox{$f$}$ nicht stetig gewesen sein.

3.
Die Funktion $ \mbox{$f \vert _{\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)^\text{t}\}}$}$ ist stetig, da sie auf diesem Definitionsbereich Quotient von Polynomen ist. Um die Funktion $ \mbox{$f$}$ auf Stetigkeit zu untersuchen, genügt es also, den Ursprung zu betrachten.

Es sei $ \mbox{$(x_k, y_k)^\text{t}$}$ eine Folge, die gegen den Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ konvergiert. Dann gilt $ \mbox{$x_k \to 0, y_k \to 0$}$ für $ \mbox{$k \to \infty$}$ , und daher

$ \mbox{$\displaystyle 0 \leq \vert f(x_k,y_k) \vert \leq \left\vert \dfrac{... ...eq \dfrac{\vert x_k\vert (x_k^2+y_k^2)}{x_k^2+y_k^2} = \vert x_k\vert \to 0. $}$
Also gilt $ \mbox{$\lim\limits_{k \to \infty} f(x_k,y_k) = 0$}$ für alle Folgen $ \mbox{$(x_k, y_k)^\text{t}$}$ , die gegen $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ konvergieren. Daher ist $ \mbox{$f$}$ stetig im Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ und folglich insgesamt stetig.

4.
Es seien
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} h_1:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, \; x \ma... ... h_2:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\; (x,y)^\text{t} \mapsto xy. \end{array} $}$
Die Funktion $ \mbox{$h_1$}$ ist stetig, wie aus der eindimensionalen Analysis bekannt ist (es sei etwa an die Potenzreihenentwicklung der Sinusfunktion erinnert). Die Funktion $ \mbox{$h_2$}$ ist stetig als Polynom. Daher ist auch $ \mbox{$f = h_1 \circ h_2$}$ stetig.