Norm, Folgenkonvergenz und Abschluß.
Seien . Seien .
Wir erinnern an das Skalarprodukt und die (euklidische) Norm .
Die (euklidische) Norm erfüllt folgende drei Eigenschaften für alle :
Eine Folge konvergiert gegen einen Punkt , wenn für alle ein so existiert, daß
Schreibweise: oder .
Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt, falls er existiert.
Es sei . Ein Punkt heißt Berührpunkt von , falls für jedes die (offene) -Umgebung
Funktionsgrenzwerte.
Sei eine Teilmenge, und sei eine Funktion.
Es heißt der Grenzwert von an der Stelle , falls es für alle ein gibt mit
Nach dem Folgenkriterium konvergiert gegen an der Stelle , falls für alle Folgen mit und gilt, daß .
Stetigkeit.
Sei eine Teilmenge, und sei eine Funktion.
Die Funktion heißt stetig im Punkt , wenn
Die Funktion heißt stetig, wenn sie in allen Punkten stetig ist.
Ist mit Koordinatenfunktionen , so ist stetig in genau dann, wenn stetig in sind.
Ist ein Polynom, d.h. gilt
Für stetige Funktionen , , wobei , sowie , sind auch die Funktionen
Satz von Weierstraß.
Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, falls , d.h. falls alle seine Berührpunkte enthält.
Die Menge heißt beschränkt, falls , d.h. falls es ein gibt, so daß für alle .
Die Menge heißt kompakt, falls sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Sei eine stetige Funktion auf einer nicht-leeren kompakten Menge . Dann existieren nach dem Satz von Weierstraß und , d.h. es gibt , so daß
Satz von Heine-Borel.
Es sei eine Teilmenge. Unter einer offenen Überdeckung von versteht man eine Familie von offenen Mengen derart, daß
Der Satz von Heine-Borel besagt nun, daß die Menge genau dann kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung von eine endliche Teilüberdeckung besitzt.