Norm, Folgenkonvergenz und Abschluß.
Seien
.
Seien
.
Wir erinnern an das Skalarprodukt
und die (euklidische) Norm
.
Die (euklidische) Norm erfüllt folgende drei Eigenschaften für alle
:
Eine Folge
konvergiert gegen einen Punkt
, wenn für alle
ein
so
existiert, daß
Schreibweise:
oder
.
Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt, falls er existiert.
Es sei
. Ein Punkt
heißt Berührpunkt von
, falls
für jedes
die (offene)
-Umgebung
Funktionsgrenzwerte.
Sei
eine Teilmenge, und sei
eine Funktion.
Es heißt
der Grenzwert von
an der Stelle
, falls es für alle
ein
gibt mit
Nach dem Folgenkriterium konvergiert
gegen
an der Stelle
, falls für alle Folgen
mit
und
gilt, daß
.
Stetigkeit.
Sei
eine Teilmenge, und sei
eine Funktion.
Die Funktion
heißt stetig im Punkt
, wenn
Die Funktion
heißt stetig, wenn sie in allen Punkten
stetig ist.
Ist
mit Koordinatenfunktionen
, so ist
stetig in
genau dann, wenn
stetig in
sind.
Ist
ein Polynom, d.h. gilt
Für stetige Funktionen
,
, wobei
, sowie
, sind auch die Funktionen
Satz von Weierstraß.
Eine Teilmenge
heißt abgeschlossen, falls
, d.h. falls
alle seine
Berührpunkte enthält.
Die Menge
heißt beschränkt, falls
, d.h. falls es ein
gibt, so daß
für alle
.
Die Menge
heißt kompakt, falls sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Sei
eine stetige Funktion auf einer nicht-leeren kompakten Menge
.
Dann existieren nach dem Satz von Weierstraß
und
, d.h. es gibt
, so daß
Satz von Heine-Borel.
Es sei
eine Teilmenge. Unter einer offenen Überdeckung von
versteht man eine Familie
von offenen Mengen
derart, daß
Der Satz von Heine-Borel besagt nun, daß die Menge
genau dann kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung von
eine
endliche Teilüberdeckung besitzt.