Stetigkeit.

Norm, Folgenkonvergenz und Abschluß.

Seien $ \mbox{$l,\, m,\, n,\, n\,\ge\, 1$}$ . Seien $ \mbox{$x = \begin{pmatrix}
\xi_1\\
\vdots\\
\xi_n
\end{pmatrix},\;
y ...
...egin{pmatrix}
\eta_1\\
\vdots\\
\eta_n
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$}$ .

Wir erinnern an das Skalarprodukt $ \mbox{$x^\text{t} y = \xi_1 \eta_1 + \cdots + \xi_n \eta_n$}$ und die (euklidische) Norm $ \mbox{$\Vert x \Vert = \sqrt{x^\text{t} x} = \sqrt{ \xi_1^2 + \cdots + \xi_n^2}$}$ .

Die (euklidische) Norm erfüllt folgende drei Eigenschaften für alle $ \mbox{$x,y \in \mathbb{R}^n, \alpha \in \mathbb{R}$}$ :

Eine Folge $ \mbox{$(x_k)_{k\ge 1}$}$ konvergiert gegen einen Punkt $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^n$}$ , wenn für alle $ \mbox{$\varepsilon >0$}$ ein $ \mbox{$N\ge 1$}$ so existiert, daß

$ \mbox{$\displaystyle
\Vert x_k-x\Vert<\varepsilon \hspace*{1cm} \text{f\uml ur alle {$\mbox{$k\ge N$}$}}\; ,
$}$
d.h. falls $ \mbox{$\Vert x_k - x \Vert \to 0$}$ für $ \mbox{$k\to\infty$}$ . Der Punkt $ \mbox{$x$}$ heißt dann der Grenzwert der Folge $ \mbox{$(x_k)_{k\ge 1}$}$ .

Schreibweise: $ \mbox{$x = \displaystyle\lim_{k\to\infty} x_k$}$ oder $ \mbox{$x_k \to x$}$ .

Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt, falls er existiert.

Es sei $ \mbox{$D \subseteq \mathbb{R}^n$}$ . Ein Punkt $ \mbox{$x_0 \in \mathbb{R}^n$}$ heißt Berührpunkt von $ \mbox{$D$}$ , falls für jedes $ \mbox{$\varepsilon >0$}$ die (offene) $ \mbox{$\varepsilon $}$ -Umgebung

$ \mbox{$\displaystyle
B_\varepsilon (x_0) := \{ x \in \mathbb{R}^n \vert \; \Vert x - x_0 \Vert < \varepsilon \}
$}$
mit $ \mbox{$D$}$ nichtleeren Schnitt hat. Die Menge aller Berührpunkte von $ \mbox{$D$}$ heißt der Abschluß von $ \mbox{$D$}$ und wird mit $ \mbox{$\bar{D}$}$ bezeichnet. Dies ist zugleich die Menge aller Punkte $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^n$}$ derart, daß eine Folge mit Folgegliedern in $ \mbox{$D$}$ existiert, die gegen $ \mbox{$x$}$ konvergiert.

Funktionsgrenzwerte.

Sei $ \mbox{$D \subseteq \mathbb{R}^n$}$ eine Teilmenge, und sei $ \mbox{$f:D\to\mathbb{R}^m$}$ eine Funktion.

Es heißt $ \mbox{$y_0\in\mathbb{R}^m$}$ der Grenzwert von $ \mbox{$f$}$ an der Stelle $ \mbox{$x_0\in\bar{D}$}$ , falls es für alle $ \mbox{$\varepsilon >0$}$ ein $ \mbox{$\delta > 0$}$ gibt mit

$ \mbox{$\displaystyle
\Vert f(x) - y_0\Vert \; < \; \varepsilon
$}$
für alle $ \mbox{$x\in D$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle
\Vert x - x_0\Vert\; < \; \delta\; .
$}$
In anderen Worten, für alle $ \mbox{$\varepsilon >0$}$ gibt es ein $ \mbox{$\delta > 0$}$ so, daß
$ \mbox{$\displaystyle
f(B_\delta(x_0)\cap D) \;\subseteq\; B_\varepsilon (y_0) \; .
$}$
Existiert der Grenzwert $ \mbox{$y_0$}$ bei $ \mbox{$x_0$}$ , dann sagen wir, $ \mbox{$f$}$ konvergiert an der Stelle $ \mbox{$x_0$}$ gegen $ \mbox{$y_0$}$ , und schreiben
$ \mbox{$\displaystyle
\lim_{x\to x_0} f(x) \; := \; y_0\; .
$}$

Nach dem Folgenkriterium konvergiert $ \mbox{$f(x)$}$ gegen $ \mbox{$y_0$}$ an der Stelle $ \mbox{$x_0$}$ , falls für alle Folgen $ \mbox{$(x_k)_{k\ge 1}$}$ mit $ \mbox{$x_k\in D$}$ und $ \mbox{$x_k\to x_0$}$ gilt, daß $ \mbox{$f(x_k)\to y_0$}$ .

Stetigkeit.

Sei $ \mbox{$D \subseteq \mathbb{R}^n$}$ eine Teilmenge, und sei $ \mbox{$f:D\to\mathbb{R}^m$}$ eine Funktion.

Die Funktion $ \mbox{$f$}$ heißt stetig im Punkt $ \mbox{$x_0\in D$}$ , wenn

$ \mbox{$\displaystyle
\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\;,
$}$
d.h. wenn dieser Grenzwert existiert.

Die Funktion $ \mbox{$f$}$ heißt stetig, wenn sie in allen Punkten $ \mbox{$x_0\in D$}$ stetig ist.

Ist $ \mbox{$f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\  \vdots\\  f_m(x)\end{pmatrix}$}$ mit Koordinatenfunktionen $ \mbox{$f_1,\,\ldots,\,f_m\, :\,D\to\mathbb{R}$}$ , so ist $ \mbox{$f$}$ stetig in $ \mbox{$x_0$}$ genau dann, wenn $ \mbox{$f_1,\ldots,f_m$}$ stetig in $ \mbox{$x_0$}$ sind.

Ist $ \mbox{$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$}$ ein Polynom, d.h. gilt

$ \mbox{$\displaystyle
f(\xi_1,\ldots,\xi_n) = \sum_{\nu_1,\ldots,\nu_n \geq 0} a_{\nu_1,\ldots,\nu_n}\xi_1^{\nu_1}\cdots\xi_n^{\nu_n}
$}$
mit Koeffizienten $ \mbox{$a_{\nu_1,\ldots,\nu_n}\in\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$a_{\nu_1,\ldots,\nu_n}\ne 0$}$ nur für endlich viele $ \mbox{$\nu_1,\ldots,\nu_n\geq 0$}$ , so ist $ \mbox{$f$}$ stetig.

Für stetige Funktionen $ \mbox{$f,g: D \to \mathbb{R}^m$}$ , $ \mbox{$h:E \to D$}$ , wobei $ \mbox{$E \subseteq \mathbb{R}^l$}$ , sowie $ \mbox{$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$}$ , sind auch die Funktionen

$ \mbox{$\displaystyle
\alpha f + \beta g\; , \hspace*{1cm} f^\text{t} g\; , \hspace*{1cm} f \circ h
$}$
stetig.

Satz von Weierstraß.

Eine Teilmenge $ \mbox{$K\subseteq\mathbb{R}^n$}$ heißt abgeschlossen, falls $ \mbox{$K=\bar{K}$}$ , d.h. falls $ \mbox{$K$}$ alle seine Berührpunkte enthält.

Die Menge $ \mbox{$K$}$ heißt beschränkt, falls $ \mbox{$\sup\{\Vert x\Vert\,\vert\, x\in K\}<\infty$}$ , d.h. falls es ein $ \mbox{$c>0$}$ gibt, so daß $ \mbox{$\Vert x\Vert\leq c$}$ für alle $ \mbox{$x\in K$}$ .

Die Menge $ \mbox{$K$}$ heißt kompakt, falls sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Sei $ \mbox{$f:K\to\mathbb{R}$}$ eine stetige Funktion auf einer nicht-leeren kompakten Menge $ \mbox{$K\subseteq\mathbb{R}^n$}$ . Dann existieren nach dem Satz von Weierstraß $ \mbox{$\min f(K)$}$ und $ \mbox{$\max f(K)$}$ , d.h. es gibt $ \mbox{$x_0,\, x_1\,\in\, K$}$ , so daß

$ \mbox{$\displaystyle
\min f(K) \; =\; f(x_0) \;\leq\; f(x) \;\leq\; f(x_1)\; =\; \max f(K) \hspace*{1cm}\text{f\uml ur alle {$\mbox{$x\in K$}$}}\;.
$}$
Kurz, eine stetige Funktion $ \mbox{$f$}$ nimmt auf einem Kompaktum $ \mbox{$K$}$ Maximum und Minimum an.

Satz von Heine-Borel.

Es sei $ \mbox{$M\subseteq\mathbb{R}^n$}$ eine Teilmenge. Unter einer offenen Überdeckung von $ \mbox{$M$}$ versteht man eine Familie $ \mbox{$(U_i)_{i\in I}$}$ von offenen Mengen $ \mbox{$U_i\subseteq\mathbb{R}^n$}$ derart, daß

$ \mbox{$\displaystyle
M \;\subseteq\; \bigcup_{i\in I} U_i\;.
$}$
Unter einer Teilüberdeckung der Familie $ \mbox{$(U_i)_{i\in I}$}$ versteht man eine offene Überdeckung von $ \mbox{$U$}$ der Form $ \mbox{$(U_i)_{i\in I_0}$}$ , wobei $ \mbox{$I_0\subseteq I$}$ eine Teilmenge ist. Die Teilüberdeckung $ \mbox{$(U_i)_{i\in I_0}$}$ heißt endlich, falls die Indexmenge $ \mbox{$I_0$}$ endlich viele Elemente hat.

Der Satz von Heine-Borel besagt nun, daß die Menge $ \mbox{$M$}$ genau dann kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung von $ \mbox{$M$}$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.