titelLösung.
Sei ferner
eine konvergente Folge mit
für alle
und
. Dann gilt
und
für
, und
Dies bedeutet, daß die Menge
alle ihre Berührpunkte enthält, d.h. sie ist abgeschlossen.
Da
beschränkt und abgeschlossen ist, ist sie kompakt.
Die Folge
, definiert durch
Da die Menge
nicht abgeschlossen ist, kann sie insbesondere nicht kompakt sein.
Es ist
Nach dem Satz von Heine-Borel ist die Menge
demnach kompakt.