titelLösung.

1.
Für alle $ \mbox{$(x,y)^\text{t}\in K$}$ gilt
$ \mbox{$\displaystyle
\left\Vert{x\choose y}\right\Vert=\sqrt{x^2+y^2}\leq 2\;,
$}$
d.h. die Menge $ \mbox{$K$}$ ist beschränkt.

Sei ferner $ \mbox{$(a_k)_{k\ge 1}=((x_k,y_k)^\text{t})_{k\ge 1}$}$ eine konvergente Folge mit $ \mbox{$a_k\in K$}$ für alle $ \mbox{$k\ge 1$}$ und $ \mbox{$a:=(x_0,y_0)^\text{t}:=\lim\limits_{k\to\infty} a_k$}$ . Dann gilt $ \mbox{$x_k\to x_0$}$ und $ \mbox{$y_k\to y_0$}$ für $ \mbox{$k\to\infty$}$ , und

$ \mbox{$\displaystyle
1\leq x_k^2+y_k^2\leq 4,\; x_k\geq 0
$}$
für alle $ \mbox{$k\ge 1$}$ . Mit $ \mbox{$k\to\infty$}$ folgt daraus
$ \mbox{$\displaystyle
1\leq x_0^2+y_0^2\leq 4,\; x_0\geq 0\;,
$}$
d.h. $ \mbox{$a=(x_0,y_0)^\text{t}\in K$}$ .

Dies bedeutet, daß die Menge $ \mbox{$K$}$ alle ihre Berührpunkte enthält, d.h. sie ist abgeschlossen.

Da $ \mbox{$K$}$ beschränkt und abgeschlossen ist, ist sie kompakt.

2.
Wir zeigen, daß die Menge $ \mbox{$K$}$ nicht abgeschlossen ist.

Die Folge $ \mbox{$(a_k)_{k\ge 1}$}$ , definiert durch

$ \mbox{$\displaystyle
a_k:={1/(k\pi)\choose\sin\frac{1}{1/(k\pi)}}={1/(k\pi)\choose 0}\;,
$}$
liegt in der Menge $ \mbox{$K$}$ und konvergiert gegen den Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ für $ \mbox{$k\to\infty$}$ . Dieser Punkt gehört jedoch nicht zur Menge $ \mbox{$K$}$ , so daß $ \mbox{$K$}$ nicht abgeschlossen ist.

Da die Menge $ \mbox{$K$}$ nicht abgeschlossen ist, kann sie insbesondere nicht kompakt sein.

3.
Wir zeigen, daß die Menge $ \mbox{$K$}$ nicht beschränkt ist.

Es ist

$ \mbox{$\displaystyle
\left\Vert \begin{pmatrix}
\cos x\\
\sin x\\
x
\...
...x}\right\Vert
= \sqrt{(\cos x)^2 + (\sin x)^2 + x^2} = \sqrt{1 + x^2} \geq x
$}$
für alle $ \mbox{$x \geq 0$}$ . Demzufolge ist die Menge $ \mbox{$K$}$ nicht beschränkt und daher auch nicht kompakt.

4.
Wir wollen den Satz von Heine-Borel verwenden. Es sei also $ \mbox{$(U_i)_{i\in I}$}$ eine offene Überdeckung der Menge $ \mbox{$K$}$ . Dann gibt es ein $ \mbox{$j\in I$}$ so, daß $ \mbox{$x\in U_j$}$ . Da $ \mbox{$U_j$}$ offen ist, gibt es ein $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ so, daß
$ \mbox{$\displaystyle
B_{\varepsilon}(x) \;\subseteq\; U_j\;.
$}$
Wegen $ \mbox{$x_k\to x$}$ gibt es ein $ \mbox{$N\ge 1$}$ so, daß für alle $ \mbox{$k\ge N$}$ gilt
$ \mbox{$\displaystyle
\Vert x_k-x\Vert \;<\; \varepsilon\;.
$}$
Daher liegen die Punkte $ \mbox{$x_N,x_{N+1},\ldots$}$ alle in $ \mbox{$U_j$}$ . Zu jedem $ \mbox{$k\in\{1,\ldots,N-1\}$}$ gibt es zudem ein $ \mbox{$i_k\in I$}$ so, daß $ \mbox{$x_k\in U_{i_k}$}$ . Also gilt
$ \mbox{$\displaystyle
K \;\subseteq\; U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\ldots\cup U_{i_{N-1}} \cup U_j\;.
$}$
Also besitzt die offene Überdeckung $ \mbox{$(U_i)_{i\in I}$}$ die Teilüberdeckung $ \mbox{$(U_i)_{i\in I_0}$}$ mit $ \mbox{$I_0:=\{i_1,\ldots,i_{N-1},j\}$}$ .

Nach dem Satz von Heine-Borel ist die Menge $ \mbox{$K$}$ demnach kompakt.