Lösung.

Es sei

$ \mbox{$\displaystyle h_1: \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}\; ,\;\; x \mapsto \sqrt{x} $}$

und

$ \mbox{$\displaystyle h_2: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_{\geq 0}\; ,\;\; x= \b... ... \vdots\\ \xi_m \end{pmatrix} \mapsto \xi_1^2 + \cdots + \xi_m^2 \; . $}$

Damit ist

$ \mbox{$\displaystyle \Vert f \Vert \; =\; h_1 \circ h_2 \circ f $}$

stetig als Komposition stetiger Funktionen.

Sei nun

$ \mbox{$\displaystyle h_3: \mathbb{R}\setminus\{0\} \to \mathbb{R}\; ,\;\; x \mapsto 1/x\; . $}$

Dann ist

$ \mbox{$\displaystyle f/g \; =\; f \cdot (h_3 \circ g) $}$

stetig als Produkt von Kompositionen stetiger Funktionen.