Lösung.

1.
Für einen beliebigen Vektor $ \mbox{$y = \begin{pmatrix}\eta_1 \\ \vdots \\ \eta_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$}$ gilt

$ \mbox{$\displaystyle \max\limits_{\nu\in\{1,\dots,n\}} \vert \eta_\nu \vert ... ...\! 1/2} = \sqrt{n} \max\limits_{\nu\in\{1,\dots,n\}} \vert \eta_\nu \vert. $}$

Damit ist

$ \mbox{$\displaystyle \Vert x_k - x \Vert \to 0 \iff \max\limits_{\nu\in\{1,\dots,n\}} \vert \xi_{\nu,k} - \xi_\nu \vert \to 0. $}$

Also gilt $ \mbox{$x_k \to x$}$ genau dann, wenn $ \mbox{$\xi_{\nu,k}\to \xi_\nu$}$ für alle $ \mbox{$\nu \in \{ 1, \ldots, n \}$}$

2.
Es sei $ \mbox{$\ x_k = \begin{pmatrix} \xi_{1,k}\\ \vdots\\ \xi_{n,k} \end{pmat... ... y_k = \begin{pmatrix} \eta_{1,k}\\ \vdots\\ \eta_{n,k} \end{pmatrix}$}$ und $ \mbox{$\xi_\nu := \lim\limits_{k \to \infty} \xi_{\nu,k}, \eta_\nu := \lim\limits_{k \to \infty} \eta_{\nu,k}, \nu = 1, \ldots, n$}$ , die nach 1. existieren. Also gilt nach 1.
$ \mbox{$\displaystyle \lim\limits_{k\to\infty}x_k \;=\; \begin{pmatrix}\xi_1\\... ...to\infty}y_k \;=\; \begin{pmatrix}\eta_1\\ \vdots\\ \eta_n\end{pmatrix}\;. $}$
Damit ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lcl} \lim\limits_{k \to \infty} (x_k + y_... ...^{\! \text{t}} \left( \lim\limits_{k \to \infty} y_k \right)\; . \end{array}$}$