Beispiel.

Untersuche folgende Mengen auf Kompaktheit.
1.
$ \mbox{$K=\{(x,y)^\text{t}\in\mathbb{R}^2\,\vert\, 1\leq x^2+y^2\leq 4,\; x\geq 0\}$}$ .
2.
$ \mbox{$K=\{(x,\sin\frac{1}{x})^\text{t}\in\mathbb{R}^2\,\vert\, x\in(0,1]\} $}$ .
3.
$ \mbox{$K=\{(\cos x,\sin x,x)^\text{t}\in\mathbb{R}^3\,\vert\, x\geq 0\}$}$ .
4.
$ \mbox{$K=\{x\}\cup\{x_k\vert\;k\ge 1\}$}$ , wobei $ \mbox{$(x_k)_{k\ge 1}$}$ eine konvergente Folge im $ \mbox{$\mathbb{R}^n$}$ sei, die gegen $ \mbox{$x$}$ konvergiere.