Beispiel.

Es sei $ \mbox{$(x_k)_{k\ge 1}$}$ eine Folge aus $ \mbox{$\mathbb{R}^n$}$ mit $ \mbox{$\ x_k = \begin{pmatrix} \xi_{1,k}\\ \vdots\\ \xi_{n,k} \end{pmatrix}$}$ , und sei $ \mbox{$x=\begin{pmatrix}\xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$}$ .

1.
Zeige, daß $ \mbox{$\lim\limits_{k \to \infty} x_k = x$}$ genau dann, wenn $ \mbox{$\lim\limits_{k \to \infty} \xi_{\nu,k} = \xi_\nu$}$ für alle $ \mbox{$\nu = 1, \ldots, n$}$ .

Kurz: Konvergenz in $ \mbox{$\mathbb{R}^n$}$ entspricht komponentenweiser Konvergenz.

2.
Es seien $ \mbox{$(x_k)_{k\ge 1}, (y_k)_{k\ge 1}$}$ konvergente Folgen in $ \mbox{$\mathbb{R}^n$}$ und $ \mbox{$(\alpha_k)_{k\ge 1}$}$ eine konvergente Folge in $ \mbox{$\mathbb{R}$}$ .

Zeige, daß

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lcl} \lim\limits_{k \to \infty} (x_k + y... ...)^{\! \text{t}} \left( \lim\limits_{k \to \infty} y_k \right). \end{array} $}$