Lösung.

1.
Es ist
$ \mbox{$\displaystyle Q \;=\; \left\{ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta\end{pmatrix}... ...{pmatrix}\xi \\ \eta\end{pmatrix} - 3\xi + \eta + 2 = 0 \right.\right\}\; . $}$
Um $ \mbox{$A$}$ unitär zu diagonalisieren, bestimmen wir $ \mbox{$\chi_A(X) = X(X-2)$}$ sowie $ \mbox{$\text{E}_A(0) = \langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\rangle$}$ und $ \mbox{$\text{E}_A(2) = \langle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{r}1 \\ -1\end{array}\right)\rangle$}$ . Damit erhalten wir die unitäre Matrix $ \mbox{$U := \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}1&1\\ 1&-1\end{array}\right)$}$ mit welcher sich die Diagonalisierung
$ \mbox{$\displaystyle \bar{U}^\text{t} A U \;=\; \begin{pmatrix}0&0\\ 0&2\end{pmatrix}$}$
ergibt.

Wir halten zunächst fest, daß die Hauptachsen der Quadrik $ \mbox{$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$}$ und $ \mbox{$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{r}1 \\ -1\end{array}\right)$}$ sind.

Wir substituieren $ \mbox{$U\begin{pmatrix}\xi \\ \eta\end{pmatrix}$}$ für $ \mbox{$\begin{pmatrix}\xi \\ \eta\end{pmatrix}$}$ , d.h. $ \mbox{$\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi + \eta)$}$ für $ \mbox{$\xi$}$ und $ \mbox{$\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi - \eta)$}$ für $ \mbox{$\eta$}$ , und erhalten die Gleichung

$ \mbox{$\displaystyle 2\eta^2 - \frac{3}{\sqrt{2}}(\xi + \eta) + \frac{1}{\sqr... ...(\xi - \eta) + 2 \;=\; 2\eta^2 - \sqrt{2}\xi - 2\sqrt{2}\eta + 2 \;=\; 0\; . $}$

Nun setzen wir $ \mbox{$\eta_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$}$ und substituieren $ \mbox{$\eta + \eta_0$}$ für $ \mbox{$\eta$}$ , um

$ \mbox{$\displaystyle 2\eta^2 - \sqrt{2} \xi + 1 \;=\; 0 $}$
zu erhalten.

Schließlich setzen wir $ \mbox{$\xi_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$}$ und substituieren $ \mbox{$\xi + \xi_0$}$ für $ \mbox{$\xi$}$ , um

$ \mbox{$\displaystyle 2\eta^2 - \sqrt{2} \xi \;=\; 0 $}$
zu erhalten.

Nach Vertauschung von $ \mbox{$\xi$}$ und $ \mbox{$\eta$}$ und Division durch $ \mbox{$-\sqrt{2}$}$ ist die Gleichung von der Form

$ \mbox{$\displaystyle \eta - \sqrt{2}\xi^2 \;=\; 0 $}$
zu erhalten. Es handelt sich mithin um eine Parabel.

Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich also in $ \mbox{$U\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$}$ .

\includegraphics[width = 10cm,height = 10cm]{parabel.eps}

2.
Es ist
$ \mbox{$\displaystyle Q \;=\; \left\{ x\in\mathbb{R}^4 \;\left\vert\; x^\text{... ...atrix}^\text{t}}_{=:b} x + \underbrace{52}_{=:c} \;=\; 0 \right.\right\}\;. $}$

Um $ \mbox{$A$}$ unitär zu diagonalisieren, bestimmen wir $ \mbox{$\chi_A(X)=(X-8)(X+4)^3$}$ sowie

$ \mbox{$\displaystyle \text{E}_A(8) \;=\; \langle\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ ... ... \;=\; \langle\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\rangle $}$
und
$ \mbox{$\displaystyle \text{E}_A(-4) \;=\; \langle\left(\begin{array}{r}-1\\ ... ...rt{12}}\left(\begin{array}{r}-1\\ -1\\ -1\\ 3\end{array}\right)\rangle\;. $}$
Damit erhalten wir die unitäre Matrix
$ \mbox{$\displaystyle U=\left(\begin{array}{rrrr} 1/2 & -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt... ...rt{6} & -1/\sqrt{12} \\ 1/2 & 0 & 0 & 3/\sqrt{12} \\ \end{array}\right) $}$
und
$ \mbox{$\displaystyle D\;:=\; \bar{U}^\text{t} AU \;=\; \text{diag}(8,-4,-4,-4)\;. $}$

Wir halten fest, daß $ \mbox{$\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$}$ , $ \mbox{$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{r}-1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$}$ , $ \mbox{$\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{r}-1\\ -1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$}$ und $ \mbox{$\frac{1}{\sqrt{12}}\left(\begin{array}{r}-1\\ -1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$}$ die Hauptachsen der Quadrik $ \mbox{$Q$}$ sind.

Wir substituieren $ \mbox{$Ux$}$ für $ \mbox{$x$}$ und erhalten die Gleichung

$ \mbox{$\displaystyle x^\text{t} Dx + b'^{\text{t}} x +c=0\;. $}$
mit
$ \mbox{$\displaystyle b' \;:=\; U^\text{t} b \;=\; \begin{pmatrix}48\\ 0\\ 16\sqrt{2}/\sqrt{3}\\ 16/\sqrt{3}\end{pmatrix}\;. $}$

Nun setzen wir

$ \mbox{$\displaystyle x_0 \;:=\; -\frac{1}{2}D^{-1}b' \;=\; \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 2\sqrt{2}/\sqrt{3}\\ 2/\sqrt{3}\end{pmatrix}$}$
und substituieren $ \mbox{$x+x_0$}$ für $ \mbox{$x$}$ , um die Gleichung
$ \mbox{$\displaystyle x^\text{t} Dx + c' =0 $}$
zu erhalten, wobei $ \mbox{$c':= x_0^\text{t} D x_0 + b'^{\text{t}} x_0 + c = -4$}$ . Also ist $ \mbox{$Q$}$ nicht ausgeartet, und Division durch $ \mbox{$4$}$ ergibt die Normalform
$ \mbox{$\displaystyle x^\text{t}\; \text{diag}(2,-1,-1,-1)\; x \;=\; 1\;, $}$
oder anders geschrieben
$ \mbox{$\displaystyle 2\xi_1^2-\xi_2^2-\xi_3^2-\xi_4^2 \;=\; 1\;. $}$

Es handelt sich bei $ \mbox{$Q$}$ also um ein $ \mbox{$1$}$ -Ellipso- $ \mbox{$3$}$ -hyperboloid mit Mittelpunkt $ \mbox{$x_0$}$ und Halbachse $ \mbox{$\frac{1}{\sqrt{2}}$}$ .