Lösung.

Mit

$ \mbox{$\displaystyle A \;:=\; \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1/2& -1/2\\ -1/2 & 1 & -1/2\\ -1/2 & -1/2& 1\\ \end{array}\right) $}$
ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle \text{q}_A(\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}) \;=\; a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \;. $}$

Es gilt also $ \mbox{$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq 0$}$ für alle $ \mbox{$a,b,c\in\mathbb{R}$}$ genau dann, wenn $ \mbox{$A$}$ positiv semidefinit ist.

Beidseitiger Gaußscher Algorithmus liefert

$ \mbox{$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1/2& -1/2\\ -1/2 & 1 & ... ...y}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3/4 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)\;. $}$

Damit ist $ \mbox{$A$}$ in der Tat positiv semidefinit; genauer gesagt ist ihre Signatur $ \mbox{$(2,0)$}$ .

Alternativ bietet sich eine quadratische Ergänzung an. Es ist

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{ll} & a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\vspace{3mm}\\ ... ...{3mm}\\ =& (a-\frac{b}{2}-\frac{c}{2})^2 + \frac{3}{4} (b-c)^2. \end{array}$}$