Aufgabe.

Sei

$ \mbox{$\displaystyle A\;:=\;\left(\begin{array}{rrrrrr} -1 & 0 & -1 & -1 & 0... ...2 & -1 & 0 & -1 & -3 \\ \end{array}\right)\;\in\;\mathbb{C}^{6\times 6}\;. $}$

1.
Bestimme eine invertierbare Matrix $ \mbox{$S\in\mathbb{C}^{6\times 6}$}$ so, daß $ \mbox{$J := S^{-1}AS$}$ in Jordanform ist.
2.
Betrachte die Abbildung
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{H}_A(\lambda_1) &\to & \text{H}_A(\lambda_1)\\ x &\mapsto & Ax\;, \end{array}$}$
wobei $ \mbox{$\lambda_1$}$ der Eigenwert von $ \mbox{$A$}$ mit algebraischer Vielfachheit vier sei. Bestimme ihre Darstellungsmatrix bezüglich der im Algorithmus mit $ \mbox{$(\underline{y}_1,\ldots,\underline{y}_l)$}$ bezeichneten Basis.
3.
Berechne $ \mbox{$A^n$}$ für $ \mbox{$n\geq 0$}$ .