Beispiel.

Sei $ \mbox{$n\geq 1$}$ und $ \mbox{$A\in\mathbb{C}^{n\times n}$}$ . Zeige folgende Aussagen.

1.
Es gibt ein $ \mbox{$m\geq 1$}$ mit $ \mbox{$A^m=0$}$ genau dann, wenn $ \mbox{$0$}$ einziger Eigenwert von $ \mbox{$A$}$ ist.
2.
Die Matrix $ \mbox{$A$}$ ist diagonalisierbar genau dann, wenn $ \mbox{$\mu_A(X)$}$ nur einfache Nullstellen besitzt, d.h. wenn $ \mbox{$\mu_A(X)=(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_r)$}$ mit paarweise verschiedenen $ \mbox{$\lambda_1,\dots,\lambda_r\in\mathbb{C}$}$ .
3.
Es ist $ \mbox{$\chi_A(X)=\mu_A(X)$}$ genau dann, wenn die geometrische Vielfachheit aller Eigenwerte gleich $ \mbox{$1$}$ ist.
4.
Ist $ \mbox{$A^m=\text{E}$}$ für ein $ \mbox{$m\geq 1$}$ , so ist $ \mbox{$A$}$ diagonalisierbar.
5.
Ist $ \mbox{$A^2=2A-\text{E}$}$ , so ist $ \mbox{$A=\text{E}$}$ oder $ \mbox{$A$}$ ist nicht diagonalisierbar. Gib ein Beispiel für den letzteren Fall an.