Lösung.

1.
Die Koeffizienten des Polynoms $ \mbox{$u(X)f(X) + v(X)g(X)$}$ stehen in dem Zeilenvektor, der sich durch Multiplikation des Zeilenvektors $ \mbox{$({ s_2\;\; s_1\;\; s_0\;\; t_2\; \;t_1\;\; t_0})$}$ mit der Sylvesterschen Matrix ergibt. Es ist also $ \mbox{$u(X)f(X) + v(X)g(X) = 0$}$ genau dann nichttrivial lösbar, wenn es einen Zeilenvektor $ \mbox{$({ s_2\;\; s_1\;\; s_0\;\; t_2\; \;t_1\;\; t_0})$}$ gibt, der nach Multiplikation mit der Sylvesterschen Matrix verschwindet. Dies ist genau dann der Fall, wenn diese Matrix singulär ist, d.h. wenn ihre Determinante verschwindet.
2.
Wir berechnen
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} \det\left( \begin{array}{cccccc} 1 & a... ... \;=\; (d - a)^3 - (e - b)^3 + (d - a)(e - b)(ae - bd)\; . \\ \end{array}$}$
3.
Ist $ \mbox{$h(X)$}$ ein gemeinsamer Teiler von $ \mbox{$f(X)$}$ und $ \mbox{$g(X)$}$ von Grad $ \mbox{$\geq 1$}$ , so können wir
$ \mbox{$\displaystyle (g(X)/h(X)) f(X) + (-f(X)/h(X)) g(X) \;=\; 0 $}$
schreiben. Also ist $ \mbox{$(\ast)$}$ aus 1. erfüllt, und somit verschwindet die Resultante.

Ist umgekehrt $ \mbox{$(\ast)$}$ aus 1. erfüllt, so haben wir die Existenz eines gemeinsamen Teilers zu zeigen. Jeder irreduzible Faktor von $ \mbox{$f(X)$}$ ist wegen $ \mbox{$(\ast)$}$ Faktor von $ \mbox{$v(X)$}$ oder von $ \mbox{$g(X)$}$ . Aus Gradgründen kann nun nicht jeder Faktor von $ \mbox{$f(X)$}$ ein Faktor von $ \mbox{$v(X)$}$ sein. In anderen Worten, es gibt wenigstens ein Faktor von $ \mbox{$f(X)$}$ , der auch in $ \mbox{$g(X)$}$ auftritt.