Lösung.

Sei $ \mbox{$A = \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ ... ... & 1 & 0 \\ t & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{5\times 4}$}$ . Das gefragte Volumen ist gegeben durch $ \mbox{$\sqrt{\det(A^\text{t} A)}$}$ .

Wir berechnen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} \det (A^\text{t} A) \;=\; \det\left(\be... ... & -6 \\ \end{array}\right) \;=\; 2((t + 1)^2 + 27/2) \; . \\ \end{array}$}$
Damit beträgt das Volumen $ \mbox{$\sqrt{2((t + 1)^2 + 27/2)}$}$ . Sein Minimum wird bei $ \mbox{$t = -1$}$ angenommen und beträgt dort $ \mbox{$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$}$ .