Permutationen.
Sei
. Eine Permutation von
ist eine bijektive Abbildung
. Wir schreiben sie als
Die identische Abbildung, die alle Zahlen in
festläßt, wird mit
oder
kurz mit
bezeichnet.
Die Menge aller Permutationen von
wird mit
bezeichnet. Sie enthält
Elemente.
Zum Beispiel ist
Zykelschreibweise.
Ein Zykel wird geschrieben als
Zum Beispiel ist, in der Reihenfolge wie oben,
Jede Permutation
kann als Produkt paarweise disjunkter Zykel geschrieben werden.
Zwei Zykel heißen hierbei disjunkt, falls sie kein gemeinsames Element aufweisen. Um diese
Zykelschreibweise zu erhalten, verfahre man etwa wie folgt.
Sei
. Der erste Zykel ist gegeben durch
Sei
minimal unter den Zahlen, die nicht im ersten Zykel auftreten.
Der zweite Zykel ist gegeben durch
Sei
minimal unter den Zahlen, die nicht in den ersten beiden Zykeln auftreten.
Der dritte Zykel ist gegeben durch
Und so fort, bis nach dem
-ten Schritt alle Zahlen in
abgehandelt sind. Wir erhalten
So wird zum Beispiel
Signum.
Das Signum oder Vorzeichen einer Permutation
Es ist
Definition der Determinante.
Sei
ein Körper, sei
, und sei
. Sei die Determinante
von
definiert durch die Leibnizsche Formel
Regeln.
Seien
. Dann ist
Die Determinante einer oberen Blockdreiecksmatrix berechnet sich zu
Beachte insbesondere, daß für eine
-Matrix
gilt, daß
Laplace-Entwicklung.
Sei
Die Determinante von
läßt sich durch die Laplace-Entwicklung nach der
-ten Zeile
Gaußschritte.
Gaußsche Umformungen können verwendet werden, um eine Matrix
zwecks
Determinantenberechnung zu vereinfachen.
Dasselbe gilt für Spaltenumformungen.
In der Praxis verwendet man häufig Gaußschritte zur Vorbereitung einer Laplace-Entwicklung durch weitgehendes Säubern einer Zeile oder einer Spalte.
Regularität, Cramer.
Sei
. Die Matrix
ist genau dann invertierbar, wenn
.
Genauer, es gilt dann die Cramersche Regel,
In der Praxis verwendet man diese Regel hauptsächlich zur Berechnung einzelner Einträge von
.
Flächen- und Volumenberechnung.
Zwei Vektoren
spannen ein Parallelogramm
Drei Vektoren
spannen ein Parallelotop
Allgemeiner, sei
mit
. Das von den Spaltenvektoren von
aufgespannte
-Parallelotop
Ist speziell
und
, so ist dieses Volumen gleich
, wobei
mit
sei.