Aufgabe.

Seien $ \mbox{$f(X) = X^3 + aX^2 + bX + 1$}$ und $ \mbox{$g(X) = X^3 + dX^2 + eX + 1$}$ reelle Polynome.

1.
Zeige, daß $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ genau dann einer Gleichung (Gleichheit von Polynomen) der Form
$ \mbox{$\displaystyle (\ast) \hspace*{3cm} u(X)f(X) + v(X)g(X) \;=\; 0 $}$
für gewisse reellen Polynome $ \mbox{$u(X) = s_2 X^2 + s_1 X^1 + s_0 X^0$}$ und $ \mbox{$v(X) = t_2 X^2 + t_1 X^1 + t_0 X^0$}$ , die nicht beide verschwinden sollen, genügen, wenn
$ \mbox{$\displaystyle \det\left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & a & b & 1 & 0 & 0 ... ... & e & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d & e & 1 \\ \end{array}\right) \;=\; 0\; . $}$
Diese Matrix heißt auch Sylvestersche Matrix, und ihre Determinante die Resultante der Polynome $ \mbox{$f(X)$}$ und $ \mbox{$g(X)$}$ .

2.
Berechne die Resultante von $ \mbox{$f(X)$}$ und $ \mbox{$g(X)$}$ .

3.
Zeige, daß die Resultante von $ \mbox{$f(X)$}$ und $ \mbox{$g(X)$}$ genau dann verschwindet, wenn ein Polynom $ \mbox{$h(X)$}$ von Grad $ \mbox{$\geq 1$}$ existiert, welches $ \mbox{$f(X)$}$ und $ \mbox{$g(X)$}$ teilt. Hierbei teile ein Polynom ein anderes, falls ersteres in einer Produktzerlegung letzterens auftritt.