Lösung.

1.
Wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} \det A \;=\; \det\left( \begin{array}{... ...ay}{rr} -1& 1 \\ -2&-1 \\ \end{array}\right) \;=\; 3\; . \\ \end{array}$}$
2.
Wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} \det A \;=\; \det\left( \begin{array}{... ... t^2 + t - 1) \;=\; -t(t-1)(t^2-1) \;=\; -t(t-1)^2(t+1)\; . \\ \end{array}$}$
Die Matrix $ \mbox{$A$}$ ist invertierbar genau dann, wenn $ \mbox{$\det A\ne 0$}$ ist, d.h. wenn $ \mbox{$t\in\mathbb{R}\setminus\{ 0,1,-1\}$}$ . Invertierbarkeit ist auch gleichbedeutend mit $ \mbox{$\text{Kern }A = \{ 0\}$}$ .
3.
Wir schreiben zur Unterscheidung $ \mbox{$A_n = A \in \mathbb{R}^{n\times n}$}$ und berechnen zunächst $ \mbox{$\det A_1 = 1$}$ , $ \mbox{$\det A_2 = 0$}$ und $ \mbox{$\det A_3 = -1$}$ . Sodann wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \det A_n &=& \det\underbrace{\left(... ...ht)}_{(n-2)\times (n-2)} \vspace*{2mm}\\ &=& -\det A_{n-3}\; . \end{array}$}$

Wir erhalten somit folgendes Ergebnis. Sei $ \mbox{$m\in \{0,\ldots,5\}$}$ der Rest von $ \mbox{$n$}$ geteilt durch $ \mbox{$6$}$ , d.h. $ \mbox{$n = 6s + m$}$ für ein $ \mbox{$s\in\mathbb{Z}$}$ .

Falls $ \mbox{$m\in\{ 0,1\}$}$ , so ist $ \mbox{$\det A_n = 1$}$ .

Falls $ \mbox{$m\in\{ 2,5\}$}$ , so ist $ \mbox{$\det A_n = 0$}$ .

Falls $ \mbox{$m\in\{ 3,4\}$}$ , so ist $ \mbox{$\det A_n = -1$}$ .

Damit ist $ \mbox{$A_n$}$ singulär genau dann, wenn $ \mbox{$m\in\{ 2,5\}$}$ liegt (man schreibt auch: wenn $ \mbox{$n\equiv_6 2$}$ oder $ \mbox{$n\equiv_6 5$}$ ).