Lösung.

1.
Wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle \text{Sym}_4 \;=\; \left\{ \begin{array}{l} {\mathrm{id}... ...,3),(1,4,3,2),\\ (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3) \\ \end{array}\right\} $}$
Das Element der ersten Zeile hat Vorzeichen $ \mbox{$+1$}$ . Die Elemente der zweiten Zeile haben Vorzeichen $ \mbox{$-1$}$ . Die Elemente der dritten Zeile haben Vorzeichen $ \mbox{$+1$}$ . Die Elemente der vierten Zeile haben Vorzeichen $ \mbox{$-1$}$ . Die Elemente der fünften Zeile haben Vorzeichen $ \mbox{$+1$}$ .
2.
Sei $ \mbox{${\mathcal A}_n := \{\sigma\in\text{Sym}_n\; \vert\; \varepsilon _\sigma = +1\}\subseteq\text{Sym}_n$}$ die Teilmenge der Permutationen positiven Vorzeichens. Es gibt wegen $ \mbox{$n\geq 2$}$ eine Bijektion
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\mathcal A}_n & \longrightarrow & \t... ...{\mathcal A}_n \\ \sigma & \mapsto & \sigma\circ (1,2)\; , \\ \end{array}$}$
mit der Umkehrabbildung
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{Sym}_n\setminus{\mathcal A}_n &... ...{\mathcal A}_n \\ \sigma & \mapsto & \sigma\circ (1,2)\; . \\ \end{array}$}$
In der Tat sind wegen $ \mbox{$\varepsilon _{\sigma\circ (1,2)} = \varepsilon _\sigma\varepsilon _{(1,2)} = -\varepsilon _\sigma$}$ beide Abbildungen wohldefiniert.

Damit ist

$ \mbox{$\displaystyle \char93 {\mathcal A}_n \;=\; \frac{\char93 \text{Sym}_n}{2} \;=\; \frac{n!}{2}\; . $}$