Beispiel.

Sei $ \mbox{$K$}$ ein Körper. Sei $ \mbox{$A = \begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}\in K^{3\times 3}$}$ .

1.
Berechne $ \mbox{$\det A$}$ unter Zuhilfenahme der Leibnizschen Formel.
2.
Berechne im Falle $ \mbox{$\det A\neq 0$}$ die Inverse von $ \mbox{$A$}$ unter Zuhilfenahme der Cramerschen Regel.
3.
Ist $ \mbox{$A$}$ regulär, und ist $ \mbox{$a_{1,1} = a_{1,2} = a_{2,1} = a_{2,2} = b$}$ für ein $ \mbox{$b\in K$}$ , so verschwindet der Eintrag von $ \mbox{$A^{-1}$}$ an der Position $ \mbox{$(3,3)$}$ . Zeige dies.