Lösung.

1.
Wir setzen an
$ \mbox{$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\; \s... ...egin{pmatrix}aa'&ab'+bd'&ac'+bf'+cg'\\ 0&dd'&df'+fg'\\ 0&0&gg'\end{pmatrix}$}$
mit $ \mbox{$a',b',c',d',f',g'\in K$}$ .

Die Gleichungen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} aa' &=& 1\\ dd' &=& 1\\ gg' &=& 1 \end{array}$}$
liefern
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} a' &=& a^{-1}\\ d' &=& d^{-1}\\ g' &=& g^{-1}\;. \end{array}$}$

Dann liefern die Gleichungen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} ab'+bd^{-1} &=& 0\\ df'+fg^{-1} &=& 0 \end{array}$}$
die Lösung
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} b' &=& -a^{-1}bd^{-1}\\ f' &=& -d^{-1}fg^{-1}\;. \end{array}$}$

Schließlich folgt aus

$ \mbox{$\displaystyle ac' + bf' + cg' \;=\; ac'-bd^{-1}fg^{-1}+cg^{-1} \;=\; 0 \;, $}$
daß
$ \mbox{$\displaystyle c' \;=\; a^{-1}(bd^{-1}f-c)g^{-1} \;. $}$
Damit ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{pmatrix}a&b&c\\ 0&d&f\\ 0&0&g\end{pmatrix}^{\!\... ...}(bd^{-1}f-c)g^{-1}\\ 0&d^{-1}&-d^{-1}fg^{-1}\\ 0&0&g^{-1}\end{pmatrix}\;, $}$
wie man durch Multiplikation mit $ \mbox{$\begin{pmatrix}a&b&c\\ 0&d&f\\ 0&0&g\end{pmatrix}$}$ verifiziert.

2.
Wir setzen an
$ \mbox{$\displaystyle \begin{pmatrix}\text{E}_r&0&0\\ 0&\text{E}_s&0\\ 0&0&\... ...egin{pmatrix}AA'&AB'+BD'&AC'+BF'+CG'\\ 0&DD'&DF'+FG'\\ 0&0&GG'\end{pmatrix}$}$
mit $ \mbox{$A'\in K^{r\times r}$}$ , $ \mbox{$D'\in K^{s\times s}$}$ , $ \mbox{$G'\in K^{t\times t}$}$ , $ \mbox{$B'\in K^{r\times s}$}$ , $ \mbox{$C'\in K^{r\times t}$}$ und $ \mbox{$F'\in K^{s\times t}$}$ .

Die Gleichungen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} AA' &=& \text{E}_r\\ DD' &=& \text{E}_s\\ GG' &=& \text{E}_t \end{array}$}$
liefern
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} A' &=& A^{-1}\\ D' &=& D^{-1}\\ G' &=& G^{-1}\;. \end{array}$}$

Dann liefern die Gleichungen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} AB'+BD^{-1} &=& 0\\ DF'+FG^{-1} &=& 0 \end{array}$}$
die Lösung
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} B' &=& -A^{-1}BD^{-1}\\ F' &=& -D^{-1}FG^{-1}\;. \end{array}$}$

Schließlich folgt aus

$ \mbox{$\displaystyle AC' + BF' + CG' \;=\; AC'-BD^{-1}FG^{-1}+CG^{-1} \;=\; 0 \;, $}$
daß
$ \mbox{$\displaystyle C' \;=\; A^{-1}(BD^{-1}F-C)G^{-1} \;. $}$
Damit ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{pmatrix}A&B&C\\ 0&D&F\\ 0&0&G\end{pmatrix}^{\!\... ...}(BD^{-1}F-C)G^{-1}\\ 0&D^{-1}&-D^{-1}FG^{-1}\\ 0&0&G^{-1}\end{pmatrix}\;, $}$
wie man durch Multiplikation mit $ \mbox{$\begin{pmatrix}A&B&C\\ 0&D&F\\ 0&0&G\end{pmatrix}$}$ verifiziert.