Beispiel.

Sei
$ \mbox{$\displaystyle f:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3,\; \begin{pmat... ...in{pmatrix}2\xi_1+3\xi_2+\xi_3\\ \xi_1+\xi_2\\ \xi_2+\xi_3\end{pmatrix}\;. $}$
  1. Zeige, daß $ \mbox{$f$}$ eine lineare Abbildung ist.
  2. Zeige, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \underline{x} &:=& (\begin{pmatrix}1\... ...1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}) \end{array}$}$
    Basen des $ \mbox{$\mathbb{R}^3$}$ sind.
  3. Bestimme $ \mbox{$\text{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}}$}$ und $ \mbox{$\text{M}(f)_{\underline{x},\underline{y}}$}$ .
  4. Bestimme eine Basis von $ \mbox{$\text{Kern}\text{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}}$}$ und damit eine Basis von $ \mbox{$\text{Kern }f$}$ .
  5. Bestimme eine Basis von $ \mbox{$\text{Bild}\text{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}}$}$ und damit eine Basis von $ \mbox{$\text{Bild} f$}$ .
  6. Überprüfe den Dimensionssatz für $ \mbox{$f$}$ .