Seien nun
und
. Dann gilt für alle
Sei nun
eine Basis von
. Wir ergänzen diese zu einer Basis
von
.
Wendet man das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf dieses Tupel an, so erhält man eine Orthonormalbasis
von
derart, daß
eine Orthonormalbasis von
ist.
Ferner gilt
für
.
Also gilt für jedes
und jedes
, daß
Damit ist
eine Orthonormalbasis von
, und
eine Orthonormalbasis von
.