Lösung.

1.
Es ist zunächst $ \mbox{$0\in U^\perp$}$ .

Seien nun $ \mbox{$x_1,x_2\in U^\perp$}$ und $ \mbox{$\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{C}$}$ . Dann gilt für alle $ \mbox{$y\in U$}$

$ \mbox{$\displaystyle \bar{y}^\text{t}(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2) \;=\; \lambda_1\bar{y}^\text{t} x_1 + \lambda_2\bar{y}^\text{t} x_2 \;=\; 0\;. $}$
Somit ist $ \mbox{$\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2\in U^\perp$}$ . Dies zeigt, daß $ \mbox{$U^\perp$}$ ein Unterraum von $ \mbox{$\mathbb{C}^n$}$ ist.

2.
Wir zeigen zunächst, daß $ \mbox{$U\cap U^\perp = \{0\}$}$ . Sei dazu $ \mbox{$x\in U\cap U^\perp$}$ . Dann gilt
$ \mbox{$\displaystyle \Vert x\Vert^2 \;=\; \bar{x}^\text{t} x \;=\; 0\;, $}$
und somit $ \mbox{$x=0$}$ . Dies zeigt, daß $ \mbox{$U\cap U^\perp = \{0\}$}$ .

Sei nun $ \mbox{$(x_1,\ldots,x_m)$}$ eine Basis von $ \mbox{$U$}$ . Wir ergänzen diese zu einer Basis $ \mbox{$(x_1,\ldots,x_m,x_{m+1},\ldots,x_n)$}$ von $ \mbox{$\mathbb{C}^n$}$ . Wendet man das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf dieses Tupel an, so erhält man eine Orthonormalbasis $ \mbox{$(x'_1,\ldots,x'_n)$}$ von $ \mbox{$\mathbb{C}^n$}$ derart, daß $ \mbox{$(x'_1,\ldots,x'_m)$}$ eine Orthonormalbasis von $ \mbox{$U$}$ ist. Ferner gilt $ \mbox{$\bar{x}'^{\text{t}}_k x'_l=0$}$ für $ \mbox{$k\ne l$}$ .

Also gilt für jedes $ \mbox{$y=\lambda_1 x'_1+\cdots+\lambda_m x'_m\in U$}$ und jedes $ \mbox{$l\in\{m+1,\ldots,n\}$}$ , daß

$ \mbox{$\displaystyle \bar{y}^\text{t} x_l' \;=\; \bar{\lambda}_1 \bar{x}'^{\text{t}}_1 x_l' +\cdots+ \bar{\lambda}_m \bar{x}'^{\text{t}}_m x_l' \;=\; 0\;, $}$
und somit $ \mbox{$x_l'\in U^\perp$}$ . Damit ist
$ \mbox{$\displaystyle \mathbb{C}^n \;=\; \langle x'_1,\ldots,x'_m\rangle \oplu... ...},\ldots,x'_n\rangle \subseteq U\oplus U^\perp\;\subseteq\; \mathbb{C}^n \;. $}$
Daraus folgt die Behauptung.

3.
Wir ergänzen die Basis von $ \mbox{$U$}$ zu einer Basis $ \mbox{$\Big(\begin{pmatrix}1\\ \text{i}\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\; \begin... ... 0\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\Big)$}$ . Wir wenden das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt auf diese Basis an. Dies liefert uns dann wie in der Lösung zu 2. die Orthonormalbasen von $ \mbox{$U$}$ und $ \mbox{$U^\perp$}$ .

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x'_1 & = & \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{p... ...{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\; . \vspace*{3mm}\\ \end{array}$}$
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x'_4 & = & \left( \begin{pmatrix}1\... ...rt{2}}\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\; . \\ \end{array}$}$

Damit ist $ \mbox{$(x'_1,x'_2,x'_3)$}$ eine Orthonormalbasis von $ \mbox{$U$}$ , und $ \mbox{$(x'_4,x'_5)$}$ eine Orthonormalbasis von $ \mbox{$U^\perp$}$ .