Lösung.

Wenden wir Gram-Schmidt auf das zu einer Basis ergänzte Tupel $ \mbox{$\Big(\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\be... ...d{array}\right),\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\Big)$}$ an, so erhalten wir

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x'_1 & = & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\b... ...\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\; . \\ \end{array}$}$

1.
In Hessescher Normalenform wird
$ \mbox{$\displaystyle p + \langle x_1\rangle \;=\; \left\{\begin{pmatrix}\xi_1... ...d{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = 0 \right.\right\}\; . $}$
Der Abstand von $ \mbox{$q$}$ zu $ \mbox{$p + \langle x_1\rangle$}$ ergibt sich zu
$ \mbox{$\displaystyle d_1 \; :=\; \left\Vert\left(\begin{array}{cccc} 0 & -1/... ...6}\\ -1/\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix} \right\Vert \;=\; \sqrt{\frac{3}{2}}\; . $}$
Die orthogonale Projektion auf $ \mbox{$\langle x_1\rangle$}$ ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \pi_{\langle x_1\rangle}\Big(\begin{p... ...i_4)\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right) \\ \end{array}$}$
für $ \mbox{$\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4$}$ . Insbesondere wird $ \mbox{$\pi_{\langle x_1\rangle}(q-p) = \pi_{\langle x_1\rangle}(\left(\begin{a... ...ight)) = -\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$}$ .

Der Cosinus des von $ \mbox{$g$}$ und $ \mbox{$p + \langle x_1\rangle$}$ eingeschlossenen Winkels $ \mbox{$\varphi_1$}$ ergibt sich damit zu

$ \mbox{$\displaystyle \cos\varphi_1 \;=\; \frac{(q-p)^\text{t}\pi_{\langle x_1... ...-p)\Vert} \;=\; \frac{1/2}{\sqrt{2}\cdot 1/\sqrt{2}} \;=\; \frac{1}{2} \; . $}$
Damit wird $ \mbox{$\varphi_1 = \pi/3 \approx 1.0472$}$ .

2.
In Hessescher Normalenform wird
$ \mbox{$\displaystyle p + \langle x_1,x_2\rangle \;=\; \left\{\begin{pmatrix}\... ...4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = 0 \right.\right\}\; . $}$
Der Abstand von $ \mbox{$q$}$ zu $ \mbox{$p + \langle x_1,x_2\rangle$}$ ergibt sich zu
$ \mbox{$\displaystyle d_2 \; :=\; \left\Vert\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1/\... ...atrix}-1/\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix} \right\Vert \;=\; \frac{2}{\sqrt{3}}\; . $}$
Die orthogonale Projektion auf $ \mbox{$\langle x_1,x_2\rangle$}$ ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \pi_{\langle x_1,x_2\rangle}\Big(\beg... ..._4)\left(\begin{array}{r}0\\ -1\\ 2\\ 1\end{array}\right) \\ \end{array}$}$
für $ \mbox{$\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4$}$ . Insbesondere wird $ \mbox{$\pi_{\langle x_1,x_2\rangle}(q-p) = \frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}0\\ -2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$}$ .

Der Cosinus des von $ \mbox{$g$}$ und $ \mbox{$p + \langle x_1,x_2\rangle$}$ eingeschlossenen Winkels $ \mbox{$\varphi_2$}$ ergibt sich damit zu

$ \mbox{$\displaystyle \cos\varphi_2 \;=\; \frac{(q-p)^\text{t}\pi_{\langle x_1... ...t} \;=\; \frac{2/3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}/3} \;=\; \frac{1}{\sqrt{3}} \; . $}$
Damit wird $ \mbox{$\varphi_2\approx 0.9553$}$ .

3.
In Hessescher Normalenform wird
$ \mbox{$\displaystyle p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle \;=\; \left\{\begin{pmatr... ...xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix} - \left(1\right) = 0 \right.\right\}\; . $}$
Der Abstand von $ \mbox{$q$}$ zu $ \mbox{$p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle$}$ ergibt sich zu
$ \mbox{$\displaystyle d_3 \; :=\; \left\Vert\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 &... ...1\right) \right\Vert \;=\; \left\Vert \left(1\right) \right\Vert \;=\; 1\; . $}$
Die orthogonale Projektion auf $ \mbox{$\langle x_1,x_2,x_3\rangle$}$ ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \pi_{\langle x_1,x_2,x_3\rangle}\Big(... ..._4)\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right) \\ \end{array}$}$
für $ \mbox{$\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4$}$ . Insbesondere wird $ \mbox{$\pi_{\langle x_1,x_2,x_3\rangle}(q-p) = \left(\begin{array}{r}0\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$}$ .

Der Cosinus des von $ \mbox{$g$}$ und $ \mbox{$p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle$}$ eingeschlossenen Winkels $ \mbox{$\varphi_3$}$ ergibt sich damit zu

$ \mbox{$\displaystyle \cos\varphi_3 \;=\; \frac{(q-p)^\text{t}\pi_{\langle x_1... ...e}(q-p)\Vert} \;=\; \frac{1}{\sqrt{2}\cdot 1} \;=\; \frac{1}{\sqrt{2}} \; . $}$
Damit wird $ \mbox{$\varphi_2 = \pi/4\approx 0.7854$}$ .

Wir beobachten, daß $ \mbox{$d_1 \geq d_2 \geq d_3$}$ und $ \mbox{$\varphi_1 \geq \varphi_2 \geq \varphi_3$}$ , im Einklang mit der Anschauung.