Aufgabe.

Sei $ \mbox{$n\geq 1$}$ , und sei $ \mbox{$U\subseteq\mathbb{C}^n$}$ ein Unterraum. Sei

$ \mbox{$\displaystyle U^\perp \; :=\; \{ x\in\mathbb{C}^n\; \vert\; \text{{$\mbox{$\bar{y}^\text{t} x = 0$}$} f\uml ur alle {$\mbox{$y\in U$}$}} \}\; . $}$
1.
Zeige, daß $ \mbox{$U^\perp$}$ ein Unterraum von $ \mbox{$\mathbb{C}^n$}$ ist.
2.
Zeige, daß $ \mbox{$\mathbb{C}^n = U\oplus U^\perp$}$ .
3.
Sei nun $ \mbox{$U = \langle \begin{pmatrix}1\\ \mathrm{i}\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix},... ...matrix},\; \begin{pmatrix}\mathrm{i}\\ 0\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \rangle$}$ . Bestimme Orthonormalbasen von $ \mbox{$U$}$ und $ \mbox{$U^\perp$}$ .