Lösung.

Seien $ \mbox{$x=\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\end{pmatrix}$}$ , $ \mbox{$y=\begin{pmatrix}\eta_1\\ \eta_2\\ \eta_3\end{pmatrix}$}$ und $ \mbox{$z=\begin{pmatrix}\zeta_1\\ \zeta_2\\ \zeta_3\end{pmatrix}$}$ .

1.

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x^\text{t} (x\times y) &=& \begin{pma... ...1\eta_3)+\xi_3(\xi_1\eta_2-\xi_2\eta_1)\vspace*{3mm}\\ &=& 0\;. \end{array}$}$

2.

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (x\times y)\times z &=& \begin{pmatr... ...a_2\zeta_2-\xi_3\eta_1\zeta_1+\xi_1\eta_3\zeta_1 \end{pmatrix};. \end{array}$}$
Auf der anderen Seite wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (x^\text{t} z)y -(y^\text{t} z)x &=& ... ...3\xi_2\\ \eta_1\zeta_1\xi_3+\eta_2\zeta_2\xi_3\end{pmatrix}\;. \end{array}$}$

3.

Mit 2. wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (x\times y)\times z \;+\; (y\times z)... ...t{t} x)y + (y^\text{t} x-x^\text{t} y)z\vspace*{1mm}\\ &=& 0\;. \end{array}$}$