Lösung.

1.
Für $ \mbox{$U_1$}$ berechnen wir eine Zeilenstufenform
$ \mbox{$\displaystyle \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & ... ...& 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \; . $}$
Die ausgewählten Spalten sind $ \mbox{$1$}$ , $ \mbox{$2$}$ und $ \mbox{$4$}$ , und entsprechend können wir aus dem gegebenen erzeugenden Tupel Vektoren zu einer Basis $ \mbox{$( \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{... ... \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}\right))$}$ von $ \mbox{$U_1$}$ auswählen.

Für $ \mbox{$U_2$}$ berechnen wir eine Zeilenstufenform

$ \mbox{$\displaystyle \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 &... ...& 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \; . $}$
Die ausgewählten Spalten sind $ \mbox{$1$}$ , $ \mbox{$3$}$ und $ \mbox{$4$}$ , und entsprechend können wir aus dem gegebenen erzeugenden Tupel Vektoren zu einer Basis $ \mbox{$(\left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ \end{... ...begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right) )$}$ ausgewählt werden.

2.

Gemäß Zassenhaus-Algorithmus berechnen wir

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} \left(\begin{array}{rrrrr\vert rrrrr} ... ... & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ \end{array}\right)\; . \end{array}$}$
Es war nicht direkt gefragt, nichtsdestoweniger können wir eine Basis $ \mbox{$(\left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{a... ...begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array}\right) )$}$ von $ \mbox{$U_1 + U_2$}$ ablesen.

Darüberhinaus ist $ \mbox{$(\left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{... ...begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array}\right) )$}$ eine Basis von $ \mbox{$U_1\cap U_2$}$ .

Insbesondere ist

$ \mbox{$\displaystyle \dim (U_1 + U_2) \; =\; \dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1\cap U_2) \; =\; 3 + 3 - 2 \; =\; 4\; , $}$
was wir auch an der Zahl der Basisvektoren von $ \mbox{$U_1 + U_2$}$ hätten erkennen können.