Lösung.

Wir müssen zeigen, daß $ \mbox{$V=U_0+U_1+U_2+U_3$}$ , und daß aus
$ \mbox{$\displaystyle q_0(X) + q_1(X) + q_2(X)+ q_3(X) \; =\; 0 $}$
mit $ \mbox{$q_k(X)\in U_k$}$ folgt, daß alle $ \mbox{$q_k(X) = 0$}$ sind.

Sei zunächst $ \mbox{$p\in V$}$ . Mit

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} p_0(X) &:=& \text{i}^0 p(X) + \text{i... ...}X) + \text{i}^2 p(\text{i}^2 X) + \text{i}^3 p(\text{i}^3 X)\\ \end{array}$}$
ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} p_0(\text{i}X) &:=& \text{i}^0 p(\t... ...p(\text{i}^3 X) + \text{i}^3 p(X) & = & \text{i}^3 p_3(X)\; .\\ \end{array}$}$
Somit liegt $ \mbox{$p_k(X)\in U_k$}$ für alle $ \mbox{$k\in\{0,1,2,3\}$}$ , so daß $ \mbox{$p(X) = (p_0(X) + p_1(X) + p_2(X) + p_3(X))/4$}$ zeigt, daß $ \mbox{$V=U_0+U_1+U_2+U_3$}$ .

Sei nun

$ \mbox{$\displaystyle q_0(X) + q_1(X) + q_2(X)+ q_3(X) \; =\; 0 $}$
mit $ \mbox{$q_k(X)\in U_k$}$ . Es folgt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} q_0(\text{i}^0 X) + q_1(\text{i}^0 X)... ...t{i}^3 X) + q_2(\text{i}^3 X)+ q_3(\text{i}^3 X) & = & 0\; , \\ \end{array}$}$
d.h.
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{i}^0 q_0(X) + \text{i}^0 q_1(X)... ...t{i}^3 q_1(X) + \text{i}^6 q_2(X)+ \text{i}^9 q_3(X) & = & 0 \\ \end{array}$}$
Da die Matrix $ \mbox{$ A \; :=\; \left(\begin{array}{rrrr} \text{i}^0 & \text{i}^0 & \text{... ... \text{i}^0 & \text{i}^3 & \text{i}^6 & \text{i}^9 \\ \end{array}\right) $}$ unter Verwendung von Zeilenoperationen auf die obere Dreiecksform $ \mbox{$ \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -2\text{i} \\ 0 & 0 & 0 & 4\text{i} \\ \end{array}\right) $}$ gebracht werden kann, folgt aus
$ \mbox{$\displaystyle A\cdot \left(\begin{array}{r} q_0(X) \\ q_1(X) \\ q_2(X) \\ q_3(X) \\ \end{array}\right) \; =\; 0 $}$
daß $ \mbox{$q_k(X) = 0$}$ für alle $ \mbox{$k\in\{0,1,2,3\}$}$ , und somit die Direktheit der Summe $ \mbox{$U_0+U_1+U_2+U_3$}$ .

Insgesamt ist mithin $ \mbox{$V = U_0\oplus U_1\oplus U_2\oplus U_3$}$ gezeigt.