Lösung.

  1. Wir berechnen eine Zeilenstufenform.
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rl} & \left(\begin{array}{rrrrrrr} 1 & 1... ...\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \end{array}\right) \; . \\ \end{array}$}$
    Da die ersten drei Spalten ausgewählt sind, liegt in der Aufgabenstellung in der Tat ein linear unabhängiges Tupel vor.

    Da dazuhin die vierte Spalte ausgewählt ist, ist

    $ \mbox{$\displaystyle (\;\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\; \begi... ...3\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \;) $}$
    eine Basisergänzung zu einer Basis von $ \mbox{$\mathbb{R}^4$}$ .

  2. Wegen $ \mbox{$\dim\mathbb{R}^4=4$}$ muß dieses Tupel von Vektoren linear abhängig sein. Zur Auswahl einer Basis des davon erzeugten Unterraums bringen wir die folgende Matrix auf Zeilenstufenform.
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} \left(\begin{array}{rrrrr} 1& 3& 1& 1& ... ...0& -1\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 5 \end{array}\right)\;. \end{array}$}$
    Da hierin nicht alle Spalten ausgewählt sind, bestätigt diese Rechnung die lineare Abhängigkeit.

    Ferner bildet das Tupel der ersten vier Vektoren

    $ \mbox{$\displaystyle ( \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 3\\ 3\end{array}\rig... ...array}\right),\; \left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right) ) $}$
    eine Basis des von ihm erzeugten Unterraums, der aus Dimensionsgründen gleich dem $ \mbox{$\mathbb{R}^4$}$ ist.