Lösung.

  1. Wir prüfen zuerst nach, ob $ \mbox{$U$}$ ein Unterraum von $ \mbox{$V$}$ ist. Zunächst ist $ \mbox{$0=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\in U$}$ , weil $ \mbox{$0+2\cdot 0=0$}$ .

    Seien nun $ \mbox{$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}\in U$}$ und $ \mbox{$\lambda,\mu\in K$}$ . Folglich gelten $ \mbox{$x_1+2x_2=0$}$ und $ \mbox{$y_1+2y_2=0$}$ . Es wird

    $ \mbox{$\displaystyle (\lambda x_1+\mu y_1)+2(\lambda x_2+\mu y_2) \;=\; \lambda (x_1+2x_2)+\mu(y_1+2y_2) \;=\; 0\;, $}$
    und daher gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \lambda\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} + \mu\beg... ...matrix}\lambda x_1+\mu y_2 \\ \lambda x_2+\mu y_2\end{pmatrix} \;\in\; U\;. $}$
    Also ist $ \mbox{$U$}$ ein Unterraum von $ \mbox{$V=\mathbb{R}^2$}$ .

    Ferner gilt (entsprechend dem Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme)

    $ \mbox{$\displaystyle U \;=\; \langle\begin{pmatrix}-2 \\ \hfill 1\end{pmatrix}\rangle\;. $}$
    Also wird $ \mbox{$U$}$ vom Tupel $ \mbox{$(\begin{pmatrix}-2 \\ \phantom{-}1\end{pmatrix})$}$ (von Länge $ \mbox{$1$}$ ) erzeugt. Da $ \mbox{$\begin{pmatrix}-2 \\ \phantom{-}1\end{pmatrix}$}$ ungleich dem Nullvektor ist, ist dieses Tupel auch linear unabhängig und bildet daher eine Basis von $ \mbox{$U$}$ . Es ist $ \mbox{$\dim U=1$}$ .

  2. Die Vektoren $ \mbox{$\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$}$ und $ \mbox{$\begin{pmatrix}-1 \\ \phantom{-}1\end{pmatrix}$}$ liegen beide in $ \mbox{$U$}$ , nicht aber deren Summe
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ \phantom{-}1\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}\;, $}$
    denn es ist $ \mbox{$0^2\ne 2^2$}$ . Daher ist $ \mbox{$U$}$ kein Unterraum.

  3. Das Nullpolynom $ \mbox{$0$}$ liegt in $ \mbox{$U$}$ . Sind ferner $ \mbox{$p=\sum_{k=0}^n a_k X^k$}$ und $ \mbox{$q=\sum_{k=0}^n b_k X^k$}$ Elemente von $ \mbox{$U$}$ , und sind $ \mbox{$\lambda,\,\mu\,\in\, K$}$ , so ist
    $ \mbox{$\displaystyle \lambda p + \mu q \;=\; \sum_{k=0}^n (\lambda a_k + \mu b_k)X^k \;\in\; U\;. $}$
    Also ist $ \mbox{$U$}$ ein Unterraum von $ \mbox{$V=K[X]$}$ .

    Nach der Definition der Polynome ist das Tupel der Monome $ \mbox{$(X^0, X^1 , \dots , X^n)$}$ linear unabhängig, denn eine Linearkombination davon kann nur das Nullpolynom ergeben, wenn alle ihre Koeffizienten verschwinden.

    Da es auch erzeugend ist, bildet $ \mbox{$(X^0, X^1 , \dots , X^n)$}$ eine Basis von $ \mbox{$U=K[X]_{\leq n}$}$ , und es ist $ \mbox{$\dim U=n+1$}$ .

  4. Das Nullpolynom $ \mbox{$p=0$}$ erfüllt $ \mbox{$p(0)=0$}$ und $ \mbox{$p(1) = 0$}$ , d.h. es gilt $ \mbox{$0\in U$}$ . Seien ferner $ \mbox{$p,q\in U$}$ beliebig, d.h. es gelte $ \mbox{$p(0) = q(0) = p(1) = q(1) = 0$}$ , und seien $ \mbox{$\lambda,\mu\in K$}$ . Für das Einsetzen von Werten $ \mbox{$a\in K$}$ in Polynome gilt die leicht nachzuprüfende Regel
    $ \mbox{$\displaystyle (\lambda p + \mu q)(a) \;=\; \lambda p(a) + \mu q(a) \;. $}$
    Es werden daher
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} (\lambda p+\mu q)(0) & = & \lambda ... ...lambda p+\mu q)(1) & = & \lambda p(1) + \mu q(1) & = & 0 \; ,\\ \end{array}$}$
    und somit ist $ \mbox{$\lambda p+\mu q\in U$}$ . Folglich ist $ \mbox{$U$}$ ein Unterraum von $ \mbox{$V=K[X]_{\leq n}$}$ .

    Wegen $ \mbox{$p(0)=a_0$}$ und $ \mbox{$p(1) = \sum_{k = 0}^n a_k$}$ für $ \mbox{$p=\sum_{k=0}^n a_k X^k$}$ folgt

    $ \mbox{$\displaystyle U \;=\; \left\{\left(\sum_{k=1}^{n-1} a_k X^k\right) - \left(\sum_{k=1}^{n-1} a_k\right)X^n\,\vert\, a_1,\dots,a_n\in K\right\}\;. $}$
    Also wird $ \mbox{$U$}$ erzeugt von $ \mbox{$(X^1 - X^n,X^2 - X^n\dots,X^{n-1} - X^n)$}$ , und dieses Tupel bildet wegen seiner linearen Unabhängigkeit auch eine Basis von $ \mbox{$U$}$ . Es wird $ \mbox{$\dim U = n-1$}$ .