Beispiel.

Entscheide jeweils, ob $ \mbox{$U$}$ ein Unterraum von $ \mbox{$V$}$ über dem Körper $ \mbox{$K$}$ ist. Bestimme gegebenenfalls eine Basis und die Dimension von $ \mbox{$U$}$ .
  1. $ \mbox{$K = \mathbb{R}$}$ , $ \mbox{$V=\mathbb{R}^2$}$ , $ \mbox{$U=\{\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2\vert\, x_1+2x_2=0\}.$}$
  2. $ \mbox{$K = \mathbb{R}$}$ , $ \mbox{$V=\mathbb{R}^2$}$ , $ \mbox{$U=\{\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2\vert\, x_1^2=x_2^2\}.$}$
  3. $ \mbox{$V=K[X]$}$ , $ \mbox{$U=K[X]_{\leq n}:=\{\sum_{k=0}^n a_k X^k\vert\, a_0,\dots,a_n\in K\}$}$ , wobei $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$ fest sei.
  4. $ \mbox{$V=K[X]_{\leq n}$}$ , $ \mbox{$U=\{p\in V\,\vert\, p(0)=0\; \text{ und }\; p(1) = 0\}$}$ .