Lösung.

Wir bringen die erweiterte Koeffizientenmatrix $ \mbox{$(A\vert b)$}$ auf Zeilenstufenform.

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rl} &\left(\begin{array}{rrrrrr\vert l} 2... ...c+153\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& -27c+243\\ \end{array}\right) \; . \end{array}$}$
Also ist das Gleichungssystem lösbar genau dann, wenn $ \mbox{$-27c+243=0$}$ und $ \mbox{$-17c+153=0$}$ sind. Diese beiden Bedingungen sind aber gleichbedeutend mit $ \mbox{$c=9$}$ .

D.h. für $ \mbox{$c\neq 9$}$ ist das Gleichungssystem unlösbar, und wir erhalten die leere Lösungsmenge $ \mbox{$L(A,b) = \emptyset$}$ .

Um die Lösungsmenge für $ \mbox{$c=9$}$ zu bestimmen, setzen wir dies ein und rechnen weiter. Nullzeilen müssen nicht mitgeführt werden.

$ \mbox{$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrr\vert r} 1& 0& 1& 2& 0& 2& 8\... ...0& 1& -1& -1& 0& -1& -2\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 3\\ \end{array}\right) \; . $}$
Die ausgewählten Spalten sind $ \mbox{$1$}$ , $ \mbox{$2$}$ und $ \mbox{$5$}$ . Die nicht ausgewählten Spalten sind $ \mbox{$3$}$ , $ \mbox{$4$}$ und $ \mbox{$6$}$ .

Positives Einfüllen gibt eine partikuläre Lösung

$ \mbox{$\displaystyle x_0 \; =\; \left(\begin{array}{r}8\\ -2\\ 0\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)\;. $}$

Negatives Einfüllen gibt Lösungen des zugehörigen homogenen Gleichungssystems

$ \mbox{$\displaystyle h_1 \; =\; \left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0... ...\; \left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 0\\ 0\\ -1\\ 1\end{array}\right)\; . $}$

Die Lösungsmenge ist also

$ \mbox{$\displaystyle L(A,b) \;=\; \{\left(\begin{array}{r}8\\ -2\\ 0\\ 0\... ... 0\\ 0\\ -1\\ 1\end{array}\right)\vert\; a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}\} \; . $}$