Aufgabe.

Liegt an einem Stromkreis mit einer Spule mit Induktivität $ \mbox{$L>0$}$ und einem Widerstand mit Widerstand $ \mbox{$R>0$}$ die Spannung $ \mbox{$U(t)$}$ an, so ergibt sich für die Stromstärke $ \mbox{$I(t)$}$ in Abhängigkeit von der Zeit $ \mbox{$t$}$

$ \mbox{$\displaystyle L\dot{I}(t) + RI(t) \;=\; U(t) \;, $}$
wobei $ \mbox{$\dot{I}:={\displaystyle\frac{{\mbox{d}}I}{{\mbox{d}}t}}$}$.

Sei nun $ \mbox{$U(t):=U_0\cos(\omega t)$}$, $ \mbox{$\omega>0$}$, und sei $ \mbox{$I(0)=0$}$. Berechne $ \mbox{$I(t)$}$ für $ \mbox{$t>0$}$.