Lösung.

Die zugehörige homogene Gleichung wird gelöst durch

$ \mbox{$\displaystyle \displaystyle\int e^x\,{\mbox{d}} x \;=\; \displaystyle\int \frac{{\mbox{d}}y}{y} \;=\; \log y \;, $}$
also durch
$ \mbox{$\displaystyle y \;=\; C e^{(e^x)} \;. $}$
Die partikuläre Lösung erhält man durch Variation der Konstanten aus
$ \mbox{$\displaystyle y' \;=\; C'e^{(e^x)}+ C e^x e^{(e^x)} \;\stackrel{!}=\; e^x y+e^{(e^x)} \;=\; C e^x e^{(e^x)} +e^{(e^x)} $}$
und
$ \mbox{$\displaystyle C \;=\; x $}$
zu
$ \mbox{$\displaystyle y \;=\; x e^{(e^x)} \;. $}$
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist also
$ \mbox{$\displaystyle y \;=\; (x+C_0)e^{(e^x)} $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$C_0\in\mathbb{R}$}$.