Lösung.

  1. Die Taylorentwicklung von $ \mbox{$\log(1+x)$}$ um $ \mbox{$x_0=0$}$ mit $ \mbox{$n=1$}$ liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \log(1+x) &=& \log(1+0) + \frac{1}{1+... ...rac{x^2}{2} \vspace*{1mm}\\ &=& x - \frac{x^2}{2(1+\xi)^2} \; . \end{array}$}$
    Wegen $ \mbox{$x\geq 0$}$ ist $ \mbox{$\xi\geq 0$}$, also gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert\log(1+x)- x\vert\leq x^2/2 \; . $}$

  2. Hier ist $ \mbox{$x\geq -1/2$}$, also auch $ \mbox{$\xi\geq -1/2$}$ und $ \mbox{$(1+\xi)^2\geq 1/4$}$. Daraus folgt mit dem Ansatz aus (1)
    $ \mbox{$\displaystyle \vert\log(1+x)- x\vert\leq 2x^2 \; . $}$

  3. Die Taylorentwicklung von $ \mbox{$\log(1+x)$}$ um $ \mbox{$x_0=0$}$ mit $ \mbox{$n=2$}$ liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \log(1+x) &=& \log(1+0) + \frac{1}{1+... ...space*{1mm}\\ &=& x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3(1+\xi)^3} \; . \end{array}$}$
    Wegen $ \mbox{$x\geq 0$}$ ist $ \mbox{$\xi\geq 0$}$, also gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert\log(1+x)- (x-x^2/2)\vert\leq x^3/3 \; . $}$

  4. Die Taylorentwicklung von $ \mbox{$(1+x)^\alpha$}$ um $ \mbox{$x_0=0$}$ mit $ \mbox{$n=2$}$ liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (1+x)^\alpha &=& (1+0)^\alpha + \alph... ...{\alpha\choose 2}x^2 +{\alpha\choose 3} (1+\xi)^{\alpha-3}x^3\\ \end{array}$}$
    Im Falle $ \mbox{$\alpha<3$}$ ist $ \mbox{$\vert 1+\xi\vert^{\alpha-3}\leq (1/2)^{\alpha-3}=c$}$.

    Im Falle $ \mbox{$\alpha\geq 3$}$ ist $ \mbox{$\vert 1+\xi\vert^{\alpha-3} \leq (3/2)^{\alpha-3}=c$}$.

    Also folgt

    $ \mbox{$\displaystyle \left\vert(1+x)^\alpha - \left(1+\alpha x+ {\alpha\choos... ...t\vert \;\leq\; c\left\vert{\alpha\choose 3}\right\vert \vert x\vert^3 \; . $}$