Aufgabe.

Leite folgende Ungleichungen her.

  1. $ \mbox{$\vert\log(1+x)-x\vert\leq x^2/2\,$}$ für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq 0}$}$.
  2. $ \mbox{$\vert\log(1+x)-x\vert\leq 2x^2\,$}$ für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq -1/2}$}$.
  3. $ \mbox{$\vert\log(1+x)-(x-x^2/2)\vert\leq x^3/3\,$}$ für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq 0}$}$.
  4. $ \mbox{$\vert(1+x)^\alpha - \left(1+\alpha x+ {\alpha\choose 2}x^2\right)\vert\leq c\left\vert{\alpha\choose 3}\right\vert\vert x\vert^3\,$}$ für $ \mbox{$\alpha\in\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$x\in(-1/2, 1/2)$}$, wobei $ \mbox{$c=\max\left\{(1/2)^{\alpha-3},\ (3/2)^{\alpha-3}\right\}$}$.